36、新型公钥密码系统与Wagner–Magyarik密码系统研究

新型公钥密码系统与Wagner–Magyarik密码系统研究

1. 新型公钥密码系统

在密码学领域，为了设计出更安全、高效的公钥密码系统，研究人员不断探索新的方法和技术。本文介绍的新型公钥密码系统便是基于迹算子（Trace Operator）的一种创新尝试。

迹算子从 $GF(q^u)$ 到 $GF(q)$ 的定义为：对于任意 $x \in GF(q^u)$，$Tr(x) = x + x^q + x^{q^2} + \cdots + x^{q^{u - 1}}$。此定义可扩展到向量和线性化多项式。

该密码系统的设计包含以下几个关键步骤：
- 参数选择 ：
- 选择向量 $g = (g_1, \cdots, g_n)$，其元素为 $GF(q)$ 上关于 $GF(p)$ 线性无关的元素。
- 选取 $GF(q)$ 的扩展域 $GF(q^u)$。
- 确定整数 $k$ 和 $W > \frac{n - k}{2}$，这使得线性化重建问题变得困难。
- 密钥生成 ：
- 随机生成一个 $p$ - 多项式 $P$，其系数在 $GF(q^u)$ 中，$p$ - 次数为 $k - 1$，且系数 $p_{k - 1}, \cdots, p_{k - u}$ 构成 $GF(q^u)$ 在 $GF(q)$ 上的一组基。
- 生成一个秩为 $W$ 的误差向量 $E$，其系数在 $GF(q^u)$ 中。
- 公钥为 $K = Tr(P(g)) + E \in GF(q^u)^n$，私钥为 $(P, E)$。
- 加密