23、辫群共轭问题的约简与完全树层次结构的密钥分配方案

辫群共轭问题的约简与完全树层次结构的密钥分配方案

1. 辫群密码学概述

在辫群密码学中，共轭搜索问题及其变体是主要的密码学原语。这里主要考虑共轭搜索问题及其同时变体（$k = 1$ 或 $2$），即同时共轭问题（SCP）。
- 同时共轭问题（SCP） ：
- 实例 ：设 $(x_i, y_i)_{i\in[1,k]}\in G^k$，使得存在 $a\in G$，对于所有 $i\in[1, k]$，有 $y_i = ax_ia^{-1}$。
- 目标 ：找到 $b\in G$，使得对于所有 $i\in[1, k]$，有 $y_i = bx_ib^{-1}$。

在实际的辫群密码系统中，常用的是基于广义共轭问题的 Diffie - Hellman 类型的广义共轭问题，这些问题也会受到约简的影响。

2. 辫的随机生成器

辫有两种主要的表示方式：一是将单词分解为群生成元及其逆的乘积；二是采用正规形式，如左 $\Delta$ - 正规形式，表示为规范元素的乘积。以下介绍两种辫的随机生成器：
- PARG（正 Artin 随机生成器） ：固定生成元的数量 $l$，在 $G$（群生成元集合）上进行 $l$ 次随机抽取，并在左侧添加一个 $\Delta^k$ 类型的因子，其中 $k\in Z$。
- CRG（规范随机生成器） ：固定规范长度 $l$，在 $S$ 上进行 $l$ 次随机抽取，然后将 $n$ - 辫约简为其左 $\Delta$