4、交织里德 - 所罗门码与Gabidulin码的纠错解码技术

交织里德 - 所罗门码与Gabidulin码的纠错解码技术

1 交织里德 - 所罗门码的错误和擦除纠正

在通信过程中，接收到的码字可能会受到错误和擦除的影响。错误是指符号值发生改变，而擦除则是指某些符号的位置已知，但具体值丢失。下面将详细介绍交织里德 - 所罗门码同时纠正错误和擦除的方法。

1.1 解码基础

当$rank(B) = θ$时，线性方程组（7）有唯一解，从而可以得到错误定位多项式$Λ(x)$。之后，利用（13）计算多项式$Γ (ℓ)(x)$的系数，最后通过（14）计算多项式$C(ℓ)(x)$并映射到对应的码字$C$，得到解码结果。

1.2 错误和擦除同时存在的情况

假设解码器接收到的字$Y$受到错误模式$E$和擦除模式$E$的影响，即$Y = C + E + E$。为了找到错误和擦除的解码方法，我们对线性方程组（4）进行处理。对于观察到的擦除符号（值为$ξ$），我们删除矩阵$A$中相应的行和向量$b$中对应的符号。

具体操作如下：
1. 定义算子$N(y) = {i : yi ∈Fq}$，表示向量$y$中非擦除位置的索引集合。
2. 对于矩阵$M$和向量$y$，定义投影$PN(y) [M]$为$M$中与$N(y)$对应的行组成的矩阵。
3. 得到矩阵$G′(ℓ) = PN (y(ℓ)) [G]$和$L′(ℓ) = PN(y(ℓ)) [L]$，以及穿刺向量$y′(ℓ)$。
4. 将错误和擦除纠正问题表示为线性方程组$A′x = b′$。

为了获得唯一的解码结果，需要满足以下条件：
1. $θ + ε(ℓ) ≤d - 1$，其中$ε(ℓ