线性代数

行列式

行列式产生与解二元方程组。行列式一定是一个正方形阵列（行数=列数）。
二阶行列式

三阶行列式

行列式的性质

• 行列式和其置换行列式相等。
• 行列式中互换两行或者两列，行列式仅改变符号
• 某行或者某列的公因子，可以提到行列式外面
• 行列式中任意两行或者两列的元素成比例，那么该行列式的值为0
• 三角行列式等于其对角元素的乘积
  余子式

代数余子式

• 代数余子式
  
• 拉普拉斯展开定理
  
• 克莱姆法则
  解线性方程的最一般做法。要求方程个数和未知数个数必须相等。但是计算量过大。
  
  

矩阵

• 矩阵的乘法
  A和B可以相乘，A的列数必须等于B的行数。乘积的AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数。矩阵乘法满足结合律，但是不满足交换律。
  

• 线性无关和矩阵的秩
  在一个方程组中，我们俗称方程数量等于未知数数量，这个方程才能有唯一解。但是，前提是这些方程不能是注水的。数学语言，也就是这些向量必须线性无关。
  矩阵的秩的定义中，也就是所有行向量中最大线性无关的向量组的数量。

• 特征值和特征向量
  从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。

知乎大神是这样极为精辟的概括的，如果矩阵A代表着一个变换，而这个变换可以堪称是一个运动，那么特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。所以上面的特征值方程可以叙述为，v在A的作用下，最后的结果是方向不变，进行了比例为λ的伸缩。

• 矩阵的特征分解
  矩阵的特征分解又叫做曝分解。是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵。只有可对角化矩阵才能进行特征分解。
  
  特征分解可以用来快速求解矩阵的逆矩阵。
  利用特征分解也可以用来压缩图片。