线性代数

行列式

行列式产生与解二元方程组。行列式一定是一个正方形阵列(行数=列数)。
二阶行列式
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三阶行列式
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行列式的性质

  • 行列式和其置换行列式相等。
  • 行列式中互换两行或者两列,行列式仅改变符号
  • 某行或者某列的公因子,可以提到行列式外面
  • 行列式中任意两行或者两列的元素成比例,那么该行列式的值为0
  • 三角行列式等于其对角元素的乘积
    余子式

代数余子式
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  • 代数余子式
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  • 拉普拉斯展开定理
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  • 克莱姆法则
    解线性方程的最一般做法。要求方程个数和未知数个数必须相等。但是计算量过大。
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矩阵

  • 矩阵的乘法
    A和B可以相乘,A的列数必须等于B的行数。乘积的AB的行数等于A的行数,列数等于B的列数。矩阵乘法满足结合律,但是不满足交换律。
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  • 线性无关和矩阵的秩
    在一个方程组中,我们俗称方程数量等于未知数数量,这个方程才能有唯一解。但是,前提是这些方程不能是注水的。数学语言,也就是这些向量必须线性无关。
    矩阵的秩的定义中,也就是所有行向量中最大线性无关的向量组的数量。

  • 特征值和特征向量
    从数学上看,如果向量v与变换A满足Av=λv,则称向量v是变换A的一个特征向量,λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。

知乎大神是这样极为精辟的概括的,如果矩阵A代表着一个变换,而这个变换可以堪称是一个运动,那么特征值就是运动的速度,特征向量就是运动的方向。所以上面的特征值方程可以叙述为,v在A的作用下,最后的结果是方向不变,进行了比例为λ的伸缩。

  • 矩阵的特征分解
    矩阵的特征分解又叫做曝分解。是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵。只有可对角化矩阵才能进行特征分解。
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    特征分解可以用来快速求解矩阵的逆矩阵。
    利用特征分解也可以用来压缩图片。
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