codeforces Helvetic Coding Contest 2016 D2 The Wall (medium)

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本文解析了CodeForces平台上的D2题，通过枚举砖块使用数量的方法，结合组合数学中的卢卡斯定理，给出了求解不同建筑方案数目的算法实现。此外还提到了一个O(1)复杂度的解法。

####题目链接：
http://codeforces.com/contest/690/problem/D2
####题目大意：
一共有n块砖，筑成一道宽度为不超过c的墙，有多少的建筑方案？（n块不必要都用）
####结题思路：
枚举用的砖数，用的砖数为i时的建筑方案数为 $\left(^{i+c-1}_{i}\right)$ 。
这有一个定理把n个相同的物品放入m个不同的盒子中（盒子可为空）的情况数 $\left(^{n+m-1}_{m-1}\right)$ 。这个公式可这样理解有 $n + m - 1$ 个物品，把其中 $m - 1$ 个变成分割线，原来的n个物品被分成m部分。
所以原题就变成 $\sum_1^n\left(^{i+c-1}_{i}\right)$ ,求组合数用卢卡斯定理，这题就解决了。
另外还有o（1）的解法， $ans=\left(^{max(n,c)}_{min(n,c)}\right)-1$ ,至于为什么还不知道。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define LL long long
const int mod=1000003;
LL f[700010];  //N为组合数的底数 的范围    
void init(int p){  
    f[0] = 1;  
    for(int i = 1; i <= 700000; ++i)  
        f[i]  = f[i-1] * i % p;  
}  
LL pow_mod(LL a, LL x, int p){  
    LL ret = 1;  
    a %= p;  
    while(x){  
        if(x & 1){  
            ret = ret * a % p;  
            --x;  
        }  
        else{  
            a = a * a % p;  
            x >>= 1;    
        }  
    }  
    return ret;  
}  
LL Lucas(LL n, LL k, int p){  
    LL ret = 1;  
    while(n && k){  
        LL nn = n % p, kk = k % p;  
        if(nn < kk) return 0;  
        ret = ret * f[nn] * pow_mod(f[kk] * f[nn - kk] % p, p - 2, p) % p;  
        n /= p;  
        k /= p;  
    }  
    return ret;  
}  
int main(){
	int n,c;
	LL ans=0;
	init(mod);
	scanf("%d%d",&n,&c);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		ans=(ans+Lucas(i+c-1,i,mod))%mod;
	}
	printf("%I64d\n",ans);
	//system("pause");
	return 0;
}