51nod 1190 最小公倍数之和 V2（莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2021-11-13 15:03:19 发布

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本文详细解析了求解给定区间内最小公倍数累加和问题的方法，通过数学推导展示了如何高效计算∑i=ablcm(i,b)。介绍了使用递归分解质因数及约数枚举的算法实现，并分析了其时间复杂度。

转自：http://blog.youkuaiyun.com/u014610830/article/details/49493279

没有看懂，膜拜一下

题意：

给定1<=a<=b<=109，求∑i=ablcm(i,b)？

分析：

最后一步转化是另d=dd′。

做到最后发现需要枚举b的所有约数，此处我用dfs，上一次写的状压现在t掉了，因为枚举了好多重复的约数。b的约数做多不超过200个。还有一个问题，如何求f(d)=∑d′|dμ(d′)∗d′。

易知：f(d)是一个积性函数，f(p)=1−p,f(pk)=f(p)此处p为素数。
所以枚举约数d是，暴力判断b的所有不同的质因子是不是能够整除d，如果能的话，res=res∗f(p)=res∗(1−p)。

算一下复杂度：n分解质因数复杂度不超过o(n√)，dfs找n所有的约数，最大复杂度不超过o(256)，枚举约数，暴力判断是不是能够整除，o(256∗8)，n的不同约数个数不超过9个。
所以总的最大复杂度为o(T∗(n√+256∗8))，注意所有数据都达到不了这个复杂度。

下面是代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define FOR(i,x,y)  for(int i = x;i < y;++ i)
#define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;-- i)

using namespace std;

const LL Mod = 1000000007;
const int maxn = 100010;
const LL inv = 500000004;

LL a,b;
int prime[maxn];
bool check[maxn];
int pri[35],pri_cnt,len[35];
vector <int> fac;

void Mobius(){
    memset(check,false,sizeof(check));
    prime[0] = 0;
    FOR(i,2,maxn){
        if(!check[i]){
            prime[++prime[0]] = i;
        }
        FOR(j,1,prime[0]+1){
            if(i*prime[j] >= maxn)  break;
            check[i*prime[j]] = true;
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

void dfs(int res,int l){
    if(l >= pri_cnt)    {fac.push_back(res);return;}
    int tem = 1;
    dfs(res,l+1);
    FOR(i,1,len[l]+1){
        tem *= pri[l];
        dfs(res*tem,l+1);
    }
}

void Get_Fac(){
    pri_cnt = 0;
    int b_c = b;
    FOR(i,1,prime[0]+1){
        if(prime[i]*prime[i] > b_c) break;
        if(b_c % prime[i] == 0) {pri[pri_cnt++] = prime[i]; len[pri_cnt-1] = 0;}
        while(b_c % prime[i] == 0)  {b_c /= prime[i];len[pri_cnt-1] ++;}
    }
    if(b_c > 1) {pri[pri_cnt++] = b_c; len[pri_cnt-1] = 1;}
    fac.clear();
    dfs(1,0);
}

void work(){
    Get_Fac();
    LL ans = 0;
    FOR(i,0,(int)fac.size()){
        int v = fac[i];
        LL tt = a+v-1;
        LL tem = (((tt/v+b/v)%Mod)*((b/v-tt/v+1+Mod)%Mod)%Mod)*inv%Mod;
        LL res = 1;
        FOR(j,0,pri_cnt){
            if(v % pri[j])  continue;
            LL t = (1-pri[j]+Mod)%Mod;
            res = (res*t)%Mod;
        }
        ans += (res*tem)%Mod;
        ans %= Mod;
    }
    ans = (ans*b)%Mod;
    printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    Mobius();
    int T;  scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        work();
    }
    return 0;
}