（8^111+9^111）除以17^2余数是多少？

小学奥数，知乎上看到的。
原式为：$(8^{111}-9^{111})\%17^2$
=>$(8^{111}+(17-8)^{111})\%17^2$
二项式展开
=>$(8^{111}+\sum^{111}_{i=0}\times17^{111-i}\times(-8)^i)\%17^2$
17的幂大于等于2的项都能被$17^2$整除
=>$(8^{111}+(^{110}_{111})\times17^1\times(-8)^{110}+(^{111}_{111})\times17^0\times(-8)^{111})\%17^2$
第一项和第三项互为相反数
=>$(111\times17\times(-8)^{110})\%17^2$

这里考虑$111\times(-8)^{110}\%17$ 。

$$111\times(-8)^{110}=s\times17+r$$

=>$(s\times17\times17+r\times17)\%17^2$
因为r除17的余数，所以r小于17,所以r乘以17小于$17^2$。
=>$17\times r$

$r=111\times(-8)^{110}\%17$

1. 直接分解
   $$r=9\times64^{55}\%17=9\times(-4)^{55}\%17=9\times(-4)\times(-4)^{54}\%17=9\times(-4)\times(-1)^{27}\%17=2$$
2. 费马小定理+模的逆元
   $$r=9\times(-8)^{-2}\%17=9/(-8)^2\%17=9\times2^2\%17=2$$
   这里面有用到$a^b\equiv a^{b\%(p-1)}(\%p)$,p是质数（费马小定理），以及若$a\times b\equiv 1(\%p)$, 则$n/a \equiv n\times b(\%p)$。（逆元）
   这说明取模也可以对除法展开，即对除法的分配律。

=>$2\times17$
=>34