【数据结构】树状数组

树状数组

• 一个数字与它的相反数与，结果是二进制下这个数最靠右的1的位置，操作称作lowbit。

inline int lowbit(int x)
{
	return x & -x;
}

• 树状数组的存放规则：第k位存放从k往前数lowbit(k)个数的和

单点修改，区间查询

单点修改：不断+自己的lowbit，直到n为止

void update(int x, int k)
{
	while (x <= n)
	{
		tree[x] += k;
		x += lowbit(x);
	}
}

区间查询：$[1,x]$ 区间和，$x$ 不断减去自己的lowbit，直到$0$ ，每次将tree[x]加入答案中。利用前缀和就可以求出任意区间的和。

int query(int x)
{
	int sum = 0;
	while (x > 0)
	{
		sum += tree[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return sum;
}

区间修改

• 设差分数组$d_i$ ，则每个点的值$a_i={\sum }_{i=1}^n{d}_i$ 。

• 区间修改$[l,r]$ ，每个元素$+k$ ，即$d_l\leftarrow d_l+k,d_{r+1}\leftarrow d_{r+1}-k$ ，将差分数组建成树状数组，则区间修改对应修改单点值。

• 单点查询：求$[1,x]$ 区间和即可

// 第一种写法：用差分值直接建树，对于每次查询输出就可以
//原始值
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	cin >> val;
	update(i, val);
	update(i + 1, -val);
}
//修改[l,r]+k
update(l, k);
update(r+1, -k);
//查询x
cout << query(x) << endl;

// 第二种写法：储存原始值，每次查询输出原始值+差分数组值
//原始值
for (int i = 1; i <= n; i++)
	cin >> a[i];
//修改操作同第一种
//查询x
cout << a[x] + query(x) << endl;

• 区间查询：${\sum }_{i=1}^n{a}_i={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^i{d}_j={\sum }_{i=1}^n(n-i+1)d_i=(n+1){\sum }_{i=1}^n{d}_i-{\sum }_{i=1}^{n}i{d}_i$ ，维护两个树状数组，$d_i$ 和$i{d}_i$ ，修改相应的update参数就可以了。

// 将树状数组封装成结构体，T1是差分数组，T2是id_i，修改[l,r]+k
T1.update(l, k);
T1.update(r + 1, -k);
T2.update(l, l * k);
T2.update(r + 1, (r + 1) * (-k));
// [1,x]区间和查询
inline int query(int x)
{
	return (x + 1) * T1.query(x) - T2.query(x);
}