【图论】拓扑排序与关键路径

数据结构期末抱佛脚，发现没学过关键路径，补上~

拓扑排序

• 有向无环图，顶点线性排序使得对于每一个有向边，起始节点都在尾节点的前面
• 前提：DAG
• 需要记录一个点的入度，对于每个点，删去所有出边并更新到达节点的入度，每次加入入度为0的点，复杂度$O(E+V)$
• 应用：找环；找最长路；找优先级最大（等效于最长路）；
• 字典序拓扑排序：上述队列改成优先队列，复杂度$O(E+V\log V)$

void toposort()
{
    while (!topo.empty())
    {
        int cur = topo.front();
        topo.pop();
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (graph[cur][i])
            {
                in[i]--;
                { 
                	// 进行操作
                }
                if (!in[i])
                    topo.push(i);
            }
        }
    }
}

应用：关键路径

• 定义：顶点表活动，有向边表优先级，这样的DAG称AOV(activity on vertex network)；边有权值表时间，称AOE网(activity on edge)；AOE网上的最长路径称关键路径，只有这条路径上的关键活动进行时间变化能够影响到整体时间。
• $u$ 节点的最早开始时间$ve[u]$ ，最晚开始时间$vl[u]$ 。
• 以最早开始时间为例，对于边$(u,v,w)$ ，更新操作：$ve[v]=max(ve[v],ve[u]+w)$ 。
• 正反图分别进行拓扑排序，过程中进行$ve,vl$ 的更新，$ve[u]=vl[u]$ 的点即为关键路径上的点。