博弈论 总结

这几天接触了下博弈论，感觉算法在生活中的应用无处不在

1.组合博弈

条件：

1）两个玩家，双方轮流操作

2）博弈局面的状态是一个集合，通常是有限的

3）规则制定玩家从一个局面到另外一个局面的合法步骤

4）当无法操作时候，博弈结束，常规情况认为无法操作的一方输，但在misere规则下，无法操作的为赢（其实无多大影响，改变最后的输出条件即可）

5）博弈可以在有限步数结束

必败点(P点) :前一个选手(Previous player)将取胜的位置称为必败点。（当你走到此点的时候，如果你无论怎么都输，这个点就叫做必败点。）
必胜点(N点) :下一个选手(Next        player)将取胜的位置称为必胜点。（当你走到此点的时候，以聪明的走法去走，可以赢对方）



算法实现：
步骤1:将所有终结位置标记为必败点（P点）；（终结位置指的是不能将游戏进行下去的位置）
步骤2:将所有一步操作能进入必败点（P点）的位置标记为必胜点（N点）
步骤3:如果从某个点开始的所有一步操作都只能进入必胜点（N点） ，则将该点标记为必败点（P点） ；
步骤4:如果在步骤3未能找到新的必败（P点），则算法终止；否则，返回到步骤2。

题目链接：
HDU 1517 http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/76783359（模板题目）

POJ  2599http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77186290（记忆化搜索P N态）

POJ  2068http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77334045（记忆化搜索）

2.Nim博弈

Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impartial Combinatorial Games”（以下简称ICG）。满足以下条件的游戏是ICG（可能不太严谨）：

1、有两名选手；

2、两名选手交替对游戏进行移动(move)，每次一步，选手可以在（一般而言）有限的合法移动集合中任选一种进行移动；

3、对于游戏的任何一种可能的局面，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素；

 4、如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负。根据这个定义，很多日常的游戏并非ICG。例如象棋就不满足条件3，因为红方只能移动红子，黑方只能移动黑子，合法的移动集合取决于轮到哪名选手操作。

通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

这游戏看上去有点复杂，先从简单情况开始研究吧。如果轮到你的时候，只剩下一堆石子，那么此时的必胜策略肯定是把这堆石子全部拿完一颗也不给对手剩，然后对手就输了。如果剩下两堆不相等的石子，必胜策略是通过取多的一堆的石子将两堆石子变得相等，以后如果对手在某一堆里拿若干颗，你就可以在另一堆中拿同样多的颗数，直至胜利。如果你面对的是两堆相等的石子，那么此时你是没有任何必胜策略的，反而对手可以遵循上面的策略保证必胜。如果是三堆石子……好像已经很难分析了，看来我们必须要借助一些其它好用的（最好是程式化的）分析方法了，或者说，我们最好能够设计出一种在有必胜策略时就能找到必胜策略的算法。

2道Nim博弈的题目：

HDU 1730  http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77046444(Nim博弈的分析转化)

HDU 1907http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/76982719(模板题目)

3.威佐夫博弈

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)( a[k] 其中 k 为下标 )表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

奇异局势：针对最后去光者胜利，先手必输。

判断一个局势是否为奇异局势？公式如下：
a[k] = [k（1+√5）/2]（a[k]这个方括号为下标运算符，[k（1+√5）/2]这个方括号为取整运算符），b[k] = a[k] + k 。奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由a[k]，b[k]组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出 j = [a（√5-1）/2]，若 a = [ j（1+√5）/2]，那么a = a[j]，b[j] = a[j] + j，若不等于，那么a = a[j]+1，b = a[j] + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。
判断方法：min(a,b)与a[k]是否相等，若相等则为奇异局势，先手输(k=|a-b|，a[k] =  [ k（1+√5）/2],) 
题目：

http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77160818 （威佐夫模板题）
4.阶梯博弈
阶梯的序号如图所示，地面表示第0号阶梯。每次都可以将一个阶梯上的石子向其左侧移动任意个石子，没有可以移动的空间时（及所有石子都位于地面时）输。
阶梯博弈可以看成奇数阶梯的Nim博弈。
原因：假设我是先手，第一次移动按照Nim博弈的规则移动，如果对手移动奇数阶梯的石头，我们接着按照Nim博弈的规则移动奇数阶梯的石头，如果对手移动的是偶数阶梯的石头（到达了下一个奇数阶梯的石头），我则将对手移动的石头接着往下移动到下一个偶数阶梯。

题目：
POJ 1704 http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77245590(阶梯博弈的模板题)

5.联合组合博弈
n个组合博弈联合起来的博弈
例：POJ 2599是一个棋子在有向无环树上判断输赢（组合博弈）， POJ 2425确实多个棋子在无向无环树上判断输赢（联合组合博弈）。
组合博弈可以直接得到SG值，而联合组合博弈由于数据量较大，maybe很多数据要重复利用，所以会打表存储SG值。
著名的SG定理：（很多的博弈论题目都会用到它）







题目：
POJ 2599http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77186290（理解组合博弈）
POJ 2425http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77189612（理解联合组合博弈）
HDU 1848http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77148400(SG定理的模板题目)
6.直接总结规律
对于部分题目，直接总结规律，要比利用上述方法简单暴力
题目：
抢n游戏 http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/56485339
三子连   http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/75807701
POJ 1740http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77258057
POJ 2484http://blog.youkuaiyun.com/deepseazbw/article/details/77161112