【算法】博弈论

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正文

1. 博弈论简介

1.1 什么是博弈论

博弈论是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。它考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。

1.2 博弈论的常见应用场景

• 经济学领域，例如分析市场竞争中企业的定价策略等。
• 计算机科学中的算法设计，像一些两人对抗性游戏的算法实现。
• 政治学中对国家间策略互动的研究等。

2. 博弈论中的基本概念

2.1 参与者

指参与博弈过程的主体，可以是个人、企业、国家等，例如在一场棋类比赛博弈中，对弈的双方就是参与者。

2.2 策略

每个参与者在博弈中可以采取的行动方案集合，比如在猜硬币游戏中，参与者可以选择猜正面或者猜反面，这两种选择就是不同的策略。

2.3 收益

参与者在采取一定策略后所获得的结果衡量，通常用数值表示。例如在简单的商业竞争博弈中，企业获得的利润数值就是其收益情况。

3. 巴什博弈

3.1 巴什博弈规则

有一堆物品，共 n 个，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取 1 个，最多取 m 个，最后取光物品的人获胜。

3.2 巴什博弈的策略分析

如果 n % (m + 1) == 0，那么先手必败，因为后手可以通过控制每次两人取物的总数为 m + 1 来确保自己最终获胜；反之，如果 n % (m + 1)!= 0，先手可以先取走 n % (m + 1) 个物品，之后通过类似后手的策略来保证自己获胜。

3.3 C++ 代码实现巴什博弈判断先手胜负

#include <iostream>
using namespace std;

bool bashGame(int n, int m) {
    return n % (m + 1)!= 0;
}

int main() {
    int n = 10;  // 物品总数
    int m = 3;   // 每次最多取的个数
    if (bashGame(n, m)) {
        cout << "先手必胜" << endl;
    } else {
        cout << "先手必败" << endl;
    }
    return 0;
}

4. 尼姆博弈

4.1 尼姆博弈规则

有 n 堆物品，每堆物品数量不一，两人轮流从任意一堆中取任意数量的物品（至少取 1 个），最后取光物品的人获胜。

4.2 尼姆博弈的策略分析

通过计算所有堆物品数量的异或值来判断胜负。如果异或值为 0，则先手必败；异或值不为 0，则先手必胜。

4.3 C++ 代码实现尼姆博弈判断先手胜负

#include <iostream>
using namespace std;

bool nimGame(int piles[], int n) {
    int xorSum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        xorSum ^= piles[i];
    }
    return xorSum!= 0;
}

int main() {
    int piles[] = {3, 4, 5};  // 每堆物品的数量
    int n = sizeof(piles) / sizeof(piles[0]);
    if (nimGame(piles, n)) {
        cout << "先手必胜" << endl;
    } else {
        cout << "先手必败" << endl;
    }
    return 0;
}

5. 博弈树

5.1 博弈树的概念

博弈树是一种表示博弈过程的树形结构，每个节点表示博弈的一个状态，边表示参与者可以采取的行动，从根节点到叶节点的一条路径代表了一次完整的博弈过程。

5.2 博弈树的构建与搜索

通常可以使用深度优先搜索（DFS）或者广度优先搜索（BFS）等算法来遍历博弈树，分析各个状态下的最优策略等。例如在简单的井字棋游戏中，可以构建其博弈树来分析不同局面下的最佳走法。

5.3 C++ 代码示例（简单示意博弈树节点结构体）

#include <vector>
using namespace std;

// 博弈树节点结构体
struct TreeNode {
    int state;  // 表示当前节点的博弈状态（可以根据具体博弈自定义）
    vector<TreeNode*> children;  // 子节点指针向量，表示可以采取的行动对应的下一个状态节点
};

// 构建简单博弈树的函数示例（这里只是示意，具体要根据实际博弈完善）
TreeNode* buildGameTree() {
    TreeNode* root = new TreeNode();
    // 假设这里添加一些子节点来构建简单的树结构
    TreeNode* child1 = new TreeNode();
    TreeNode* child2 = new TreeNode();
    root->children.push_back(child1);
    root->children.push_back(child2);
    return root;
}

int main() {
    TreeNode* root = buildGameTree();
    // 后续可以进一步对博弈树进行搜索等操作来分析博弈
    return 0;
}

结语
感谢您的阅读！期待您的一键三连！欢迎指正！