数学系课程：[组合数学] Polya定理：置换群、Burnside引理、母函数形式的Polya定理

Polya计数定理

组合数学是大三的课程，相关知识点很多还没有学到，但是它似乎很有用，寒假自己先看一看，有错误欢迎指正。

1.群的定义：
给定一个集合G={a,b,c，……}和集合G上的二元运算 •,满足如下条件：
（i)封闭性 (ii)结合律 (iii)存在单位元 (iv)存在逆元
则称几何G在运算 •之下是一个群，或称G是一个群.

2.置换群：
置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用之表示.
置换：[n]到自身的1-1变换:[n]->[n]， p: i -> ai (ai != aj, i != j)
于是，a1,a2,a3,…an是[n]的一个全排列.称此置换为n阶置换，它可如下表示

$$p = \binom{1\:\: 2 \:\:\:\:\: ...\:\:\: n}{a1\: a2\: ...\: an}$$

3.置换群的乘法运算
看一个例子，设：

$$p1 = \binom{1\:\:\: 2 \:\:\: 3\:\:\: 4}{3\:\:\: 1 \:\:\: 2\:\:\: 4} , p2 = \binom{1\:\:\: 2 \:\:\: 3\:\:\: 4}{4\:\:\: 3 \:\:\: 2\:\:\: 1}$$
定义

p2p1=(12344321)⋅(12343124)=(31242431)⋅(12343124