最大多径时延、相干带宽、多普勒频移、相干时间之间的关系梳理(理论推导)

在无线通信中，信道的时域和频域特性对信号传输至关重要。

大家都知道：

1. 最大多径时延的倒数可以近似估计相干带宽
2. 多普勒频移的倒数可以近似估计相干时间

背后的数学原理但是很多人都不清楚。

本文从自相关函数与功率谱的傅里叶变换关系出发，探讨最大多径时延和相干带宽为何互为倒数；然后从多普勒频移对相位偏移的影响，分析多普勒频移的倒数为何可以看作相干时间。最后，梳理这四者之间的关系。

最大多径时延与相干带宽

在无线通信中，信号也通过不同路径（如建筑物反射）到达接收端，这种时间差就是多径时延。最大多径时延（${\tau }_{\text{max}}$）是信号通过最长路径与最短路径的时间差，反映了信号在时间上的“分散程度”。

这种时间分散会影响信号的频率特性。相干带宽（$B_c$）描述了信号在频率范围内保持“稳定”（即不被严重扭曲）的范围。

直观来说，如果信号在时间上分散得厉害（即${\tau }_{\text{max}}$ 大），它的频率特性变化就快（$B_c$ 小），反之亦然。

这种关系可以通过功率延时谱和傅里叶变换来解释。

信道响应：
$$h(t,\tau )=\sum _{i=1}^N{a}_i{e}^{j{\theta }_i}\delta (\tau -{\tau }_i)$$
其中，$a_i$、${\theta }_i$、${\tau }_i$ 是第 $i$ 条路径的幅度、相位和时延。

功率延时谱定义为：
$$P(\tau )=E[|h(t,\tau ){|}^2]=\sum _{i=1}^N|a_i{|}^2\delta (\tau -{\tau }_i)$$
功率延时谱的宽度就是 ${\tau }_{\text{max}}$，你可以把它想象成一个在 $[0,{\tau }_{\text{max}}]$的矩形函数.

信道的自相关函数：
信道的自相关函数 $R_h({\tau }^{\prime })$ 描述了信道在不同时间延迟下的相关性，与 $P(\tau )$ 密切相关：
$$R_h({\tau }^{\prime })=E[h(t,\tau )h^{\ast }(t,\tau +{\tau }^{\prime })]={\int }_{-\infty }^{\infty }P(\tau )\delta ({\tau }^{\prime }-\tau )d\tau =P({\tau }^{\prime })$$
也就是说，$R_h({\tau }^{\prime })\approx P({\tau }^{\prime })$，其宽度由 ${\tau }_{\text{max}}$ 决定。

根据维纳-辛钦定理，信道的自相关函数$R_h({\tau }^{\prime })$与功率谱密度$S_h(f)$互为傅里叶变换：

$$S_h(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_h({\tau }^{\prime })e^{-j2\pi f{\tau }^{\prime }}d{\tau }^{\prime }$$
$$R_h({\tau }^{\prime })={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_h(f)e^{j2\pi f{\tau }^{\prime }}df$$

$S_h(f)$ 描述了信道在不同频率上的功率分布，其宽度就是相干带宽 $B_c$。

不妨引入这张经典图片

海绵宝宝的宽度可以看作是最大多径时延 ${\tau }_{\text{max}}$，派大星的宽度可以看作是相关带宽 $B_c$。

傅里叶变换有一个重要性质：时域的宽度与频域的宽度成反比。如果 $R_h({\tau }^{\prime })$（或 $P({\tau }^{\prime })$）在时域的宽度是 ${\tau }_{\text{max}}$，那么 $S_h(f)$ 在频域的宽度 $B_c$ 大约为：
$$B_c\approx \frac{1}{{\tau }_{\text{max}}}$$

简单例子
假设功率延时谱是一个宽度为 ${\tau }_{\text{max}}$ 的矩形函数：
$$P({\tau }^{\prime })=\{\begin{array}{ll}{P}_0& 0\le {\tau }^{\prime }\le {\tau }_{\text{max}}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$
其傅里叶变换为：
$$S_h(f)=P_0{\tau }_{\text{max}}\cdot \text{sinc}(f{\tau }_{\text{max}})e^{-j\pi f{\tau }_{\text{max}}}$$
$\text{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$ 的主瓣宽度（到第一个零点）为 $\frac{1}{{\tau }_{\text{max}}}$，因此相干带宽：
$$B_c\approx \frac{1}{{\tau }_{\text{max}}}$$

不过，为了使得信号在一定带宽内变化小，通常相干带宽不会取到第一个过零点，而是3dB下降点，因此相干带宽严格计算可以近似为：
$$B_c\approx \frac{1}{10{\tau }_{\text{max}}}$$
究竟是1倍还是10倍，取决于你对通信系统的性能要求。如果要求特别严格，100倍也可以。

通俗来说，信号在时间上“拖得越长”（${\tau }_{\text{max}}$越大），频率上“变化越快”（$B_c$ 越小）.

就像一根橡皮筋，拉得越长，振动的频率范围越窄。

最大多径时延与相干带宽

在无线通信中，发射端或接收端的移动会导致信号频率偏移，称为多普勒频移（$f_d$）。这种频率变化会让信号的相位随时间变化，相干时间（$T_c$）是信号保持“稳定”（相位变化不大）的时间长度。

数学模型

假设源信号上变频后发射
$$x(t)=s(t)\cdot e^{j2\pi f_{c}t}$$
其中 $s(t)$ 是源信号， $f_c$ 是载波频率。由于多普勒效应，接收信号变为：
$$y(t)=s(t)\cdot e^{j2\pi (f_c+f_d)t}$$
下变频后得到基带接收信号
$$r(t)=s(t)\cdot e^{j2\pi f_{d}t}$$

多普勒频移给原始信号$s(t)$带来的随时间变化的相位偏移。

在$t=t_0$时刻，引入的相位偏移是：
$$\Delta {\theta }_{t_0}=2\pi f_d\cdot t_0$$

在$t=t_1$时刻，引入的相位偏移是：
$$\Delta {\theta }_{t_1}=2\pi f_d\cdot t_1$$

为了保证接收到的信号$r(t)$尽量接近原始信号$s(t)$，就要保证在观察时间内，多普勒频移带来的相位变化尽量小，即：
$$\Delta {\theta }_{t_1}-\Delta {\theta }_{t_0}<<2\pi$$
化简得到：
$$\Delta t\ll \frac{1}{f_d}$$
因此，相干时间 $T_c$ 定义为信号保持相干的时间范围，通常取：
$$T_c\approx \frac{1}{f_d}$$

简单例子
例如，如果移动速度导致最大多普勒频移 $f_d=100\text{Hz}$，那么相干时间 $T_c\approx \frac{1}{100}=0.01\text{s}$，意味着信号每 10 毫秒变化一次。

不过，为了使得信号在一定时间内变化小，通常要求相位变化不超过0.2pi，因此相干时间严格计算可以近似为：
$$T_c\approx \frac{1}{10f_d}$$究竟是1倍还是10倍，取决于你对通信系统的性能要求。如果要求特别严格，100倍也可以。

总结与梳理

• ${\tau }_{\text{max}}$ 和 $B_c$ 描述多径效应，影响信号在时域的分散和频域的稳定性。
• $f_d$ 和 $T_c$ 描述时变效应，影响信号在频域的扩展和时域的相干性。

1. 最大多径时延 ${\tau }_{\text{max}}$ 与相干带宽 $B_c$：功率延时谱 $P(\tau )$ 的宽度 ${\tau }_{\text{max}}$ 决定了信号在时间上的分散程度，通过傅里叶变换，其频域功率谱 $S_h(f)$的宽度（即相干带宽$B_c$与 ${\tau }_{\text{max}}$ 成倒数：$B_c\approx \frac{1}{{\tau }_{\text{max}}}$。这意味着多径效应强的信道（${\tau }_{\text{max}}$ 大）在频域上变化快，适合窄带信号。
2. 多普勒频移 $f_d$ 与相干时间 $T_c$：多普勒频移 $f_d$ 决定了信号相位的变化速度，当时间间隔小于 $\frac{1}{f_d}$，相位变化小，信道保持稳定，即 $T_c\approx \frac{1}{f_d}$。这反映了移动速度快的信道（$f_d$ 大）变化快，信号稳定时间短。