F#函数与递归编程实践

1、声明一个函数 g，其类型为 int -> int，其中 g(n) = n + 4。

在 F# 中可以这样声明：let g n = n + 4

2、声明一个函数 h: float * float -> float，其中 h(x, y) = x² + y²。提示：使用 System.Math.Sqrt 函数。

根据需求，我们可以使用如下代码来声明函数 h ：

let h (x, y) = x * x + y * y

这里不需要使用 System.Math.Sqrt 函数，因为需求是计算 x² + y² ，而不是开方。

3、声明一个递归函数 f: int -> int，其中当 n ≥ 0 时，f(n) = 1 + 2 + · · · + (n - 1) + n。（提示：使用 0 和 n 作为模式的两个子句）。给出该声明对应的递归公式，并计算 f(4) 的值。

递归函数声明：`let rec f = function | 0 -> 0 | n -> n + f(n - 1);;`

递归公式：  
- f(0) = 0  
- f(n) = n + f(n - 1)（n > 0）

f(4) 的计算过程：  
- f(4) = 4 + f(3)  
- = 4 + (3 + f(2))  
- = 4 + (3 + (2 + f(1)))  
- = 4 + (3 + (2 + (1 + f(0))))  
- = 4 + (3 + (2 + (1 + 0)))  
- = 10

4、斐波那契数列 F0, F1, F2, … 定义如下：F0 = 0，F1 = 1，Fn = Fn−1 + Fn−2。因此，该数列的前几项是 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …。声明一个 F# 函数来计算 Fn。使用包含三个子句的声明，其中模式对应上述定义的三种情况。给出 F4 的计算过程。

声明的 F# 函数如下：

let rec fib n = 
    match n with
    | 0 -> 0
    | 1 -> 1
    | n -> fib (n - 1) + fib (n - 2)

F4 的计算过程：

F4 = F3 + F2
F3 = F2 + F1 = F2 + 1
F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1

所以

F3 = 1 + 1 = 2
F4 = 2 + 1 = 3

5、声明一个递归函数 sum: int * int -> int，其中对于 m ≥ 0 和 n ≥ 0，sum(m, n) = m + (m + 1) + (m + 2) + … + (m + (n - 1)) + (m + n)。（提示：使用 (m,0) 和 (m,n) 作为模式的两个子句。）给出该声明对应的递归公式。

声明如下：

```ocaml
let rec sum (m, n) =
  match (m, n) with
  | (m, 0) -> m
  | (m, n) -> m + sum(m + 1, n - 1)

递归公式：

• 当 n = 0 时，sum(m, n) = m；
• 当 n > 0 时，sum(m, n) = m + sum(m + 1, n - 1)。

##6、考虑声明：let a = 5;; let f a = a + 1;; let g b = (f b) + a;; 求从这些声明得到的环境，并写出表达式 f 3 和 g 3 的求值过程。
```markdown
从这些声明得到的环境为 `[a → 5, f → (fun a -> a + 1), g → (fun b -> (f b) + a)]`。

表达式 `f 3` 的求值：将 `3` 代入 `f` 函数，`f 3 = 3 + 1 = 4`。

表达式 `g 3` 的求值：先计算 `f 3` 为 `4`，再加上环境中的 `a` 值 `5`，`g 3 = (f 3) + a = 4 + 5 = 9`。

7、声明一个函数 f: int -> bool，当且仅当 n 能被 2 或 3 整除，但不能被 5 整除时，f(n) = true。写出 f(24)、f(27)、f(29) 和 f(30) 的预期值，并与计算结果进行比较。提示：当 n%q = 0 时，n 能被 q 整除。

以下是该函数的 F# 声明：

let f n = (n % 2 = 0 || n % 3 = 0) && (n % 5 <> 0);;

预期值分析：

• f(24)：24 能被 2 和 3 整除，且不能被 5 整除，预期为 true。
• f(27)：27 能被 3 整除，且不能被 5 整除，预期为 true。
• f(29)：29 既不能被 2 整除，也不能被 3 整除，预期为 false。
• f(30)：30 能被 2、3 和 5 整除，不满足不能被 5 整除的条件，预期为 false。

实际计算：

printfn "f(24) = %b" (f 24);;
printfn "f(27) = %b" (f 27);;
printfn "f(29) = %b" (f 29);;
printfn "f(30) = %b" (f 30);;