23、超奇异积分与直流微电网双向功率变换器的研究

超奇异积分与直流微电网双向功率变换器的研究

超奇异积分相关内容

在数学领域，超奇异积分是一个重要的研究方向。我们主要考虑带有区间变量 (t \in [a, b]) 的超奇异积分，其形式如下：
- ((I(g))(t) = \int_{a}^{b} g(x)q^{\alpha}(x, t)dx)
- ((I(g))(t) = \int_{a}^{b} g(x)q^{\alpha}(x, t) \ln |x - t|dx)

这里 (q(x, t) = |x - t|)（或 (x - t)），且 (\alpha \leq -1)（或 (\alpha < -1)）为实数。其中，第一个式子表示超奇异积分的 Hadamard 有限部分。

Hadamard 有限部分积分的定义

首先，我们来明确 Hadamard 有限部分积分的定义。设 (f(x)) 在 ((\epsilon, b)) 上可积，对于任意 (\epsilon \in (0, b)) 且 (b < \infty)。假设存在一个序列 (\alpha_0 < \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots) 以及一个非负整数 (Z)，使得展开式 (\int_{\epsilon}^{b} f(x)dx = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{Z} I_{i,j}\epsilon^{\alpha_i}\ln^j(\epsilon)) 对于任意 (\epsilon \in (0, h))（(h > 0)）收敛。那么 Hadamard 有限部分积分定义为：
[
f.p.\int_{0}^{b} f(x)dx =