91、图信号处理入门：从图移位算子到图傅里叶变换

图信号处理入门：从图移位算子到图傅里叶变换

1. 图连接性问题及解决方案

在处理图的连接性时，增加图的连接性往往意味着增加参数 (T) ，进而导致图中出现大量的边。为了解决这个问题，同时又能很好地表示底层图结构，一种可行的方法是将每个顶点连接到其 (K) 个最近邻顶点（根据具体情况将 (K) 设置为合适的值），并使用高斯分布对边进行加权。不过，这些方法需要一个合适的度量来评估图顶点中样本之间的预期相似度。由于图信号可能出现在各种不同的领域，估计底层图的拓扑结构本身就是一个挑战。

2. 图移位算子（GSO）

在图信号处理系统的研究中，与经典数字信号处理（DSP）类似的一种方法是定义基本算子，以此为基础设计更复杂的滤波系统。当考虑线性算子时，任何矩阵都可以作为基本算子，将其与表示为向量的图信号相乘，会产生一个新的信号，其样本是原信号样本的线性组合。以下是两种常见的图移位算子：
- 代数信号处理（ASP）中的邻接矩阵 ：在代数信号处理框架中，邻接矩阵被用作基本算子。以有向环图为例，其邻接矩阵 (C) 为：
[
C =
\begin{bmatrix}
1 \
1 \
\vdots \
1
\end{bmatrix}
]
对于信号 (x = [x_0, x_1, \cdots, x_{N - 1}]^T) ，有 (Cx = [x_{N - 1}, x_0, \cdots, x_{N - 2}]^T \triangleq x^{\langle 1 \rangle}) 。这表明该操作对应于 (x) 的单位（循环）移位，也证实了有向环图可以看作离散时间域的图