65、信号处理中框架的应用与分析

信号处理中框架的应用与分析

1. 框架系数擦除对图像重建的影响

框架系数擦除在图像重建中有着显著的影响。以宇航员图像为例，将其分割成 16×16 的块，分别采用 Gabor 框架和离散余弦变换（DCT）进行编码，随机设置不同比例的系数为零后进行图像重建。
|编码方式|系数擦除比例|图像重建效果|
| ---- | ---- | ---- |
|Gabor 框架|40%|有一定程度的信息损失，但仍能大致识别图像|
|DCT|40%|图像出现明显的块状失真|
|Gabor 框架|60%|信息损失严重，图像细节模糊|
|DCT|60%|图像质量大幅下降，难以辨认|

从这些实验结果可以看出，Gabor 框架在抵抗系数擦除方面相对 DCT 具有一定的优势。

2. 逆 Gabor 框架

Gabor 系统在信号分析和合成方面具有强大的能力，但关键问题是如何找到用于重建信号的系数 (c_{m,n})，其重建公式为：
[x(t) = \sum_{m}\sum_{n}c_{m,n}E_{mb}T_{na}g(t) = \sum_{m}\sum_{n}c_{m,n}e^{jmb}g(t - na)]
可以使用逆框架元素 ({\tilde{g}(t)} {m,n}) 来解决这个问题，此时有：
[x(t) = \sum {m}\sum_{n}\langle x(t), \tilde{g} {m,n}(t)\rangle E {mb}T_{na}g(t)]
对于 Gabor 框架，逆框架必须满足 (\tilde{g} {m,n}(t