53、小波：多尺度分析工具

小波：多尺度分析工具

1. 多分辨率分析基础

在多尺度分析中，小波是一种强大的工具。对于离散参数小波 $\psi_{ij}(t)$，其中 $(i,j) \in Z^2$ 分别表示平移和尺度参数（即 $\mu = 2^j i$，$\xi = 2^J$），我们可以得到正交小波系数：
$C_{i}^{j}(x) = \langle x(t),\psi_{ij}(t) \rangle$

尺度子空间和残差/细节子空间的正交互补性可用于合成更高分辨率的子空间：
$V_i \oplus W_i = V_{i - 1}$

通过迭代这个性质，可以重建观测信号所在的原始空间，在实践中通常将其视为 $V_0$，即观测信号的第一和最精细分辨率。

多分辨率分析（MRA）的定性特征可总结如下：
若满足以下性质，则 $L^2(R)$ 的闭子空间序列 ${V_i} {i \in Z}$ 是多分辨率近似：
- $\forall (j,k) \in Z^2$，$x(t) \in V_j \leftrightarrow x(t - 2^j k) \in V_j$
- $\forall j \in Z$，$V {j + 1} \subset V_j$
- $\forall j \in Z$，$x(t) \in V_j \leftrightarrow x(\frac{t}{2}) \in V_{j + 1}$
- $\lim_{j \to +\infty} V_j = \bigcap_{j = -\infty}^{\infty} V_j = {0}$
- $\lim_{j \to -\infty} V