52、数据表示：从多尺度变换到神经网络

数据表示：从多尺度变换到神经网络

在信号处理和信息科学领域，数据的有效表示至关重要。本文将深入探讨从多尺度变换到神经网络的数据表示方法，重点介绍了经典和各向异性小波变换、傅里叶变换及其相关衍生变换，以及小波变换的多尺度分析等内容。

1. 各向异性小波的优势

各向异性小波在捕捉定向曲线特征方面表现出色。同时，它保留了经典小波的许多优良特性，如精确重构和能量守恒公式。这些特性不仅使各向异性小波成为更具吸引力的工具，还能以经典小波为指导实现快速发展。

2. 信号在函数基中的表示

对于有限能量信号（即满足 $\int_{R^d} | x(t) |^2 dt < ∞$ 的信号），合适的函数向量空间是希尔伯特空间。以下是相关定义：
- 希尔伯特空间 ：一个赋予内积的向量空间，该内积诱导出一个范数，使得每个元素渐近接近的函数序列 $x_n(t)$ 都是收敛的（这种收敛是柯西意义下的）。例如，$L^2(R^d)$（$d = 1,2$）空间就是希尔伯特空间。
- Lipschitz - α 函数 ：给定 $\alpha > 0$，若存在正常数 $K$ 和次数 $n = [α]$ 的多项式 $p_{n,t_0}$，使得在 $t_0$ 的邻域内所有 $t$ 都满足 $|x(t) - p_{n,t_0}(t)| \leq K|t - t_0|^{\alpha}$，则称函数 $x(t)$ 在 $t_0 \in R^d$ 处是 Lipschitz - α 的。
- 基与正交基 ：一组线性无关且张成向量空间的向量或函数 ${\var