15、随机变量的概率分布、统计特征及变换

随机变量的概率分布、统计特征及变换

1. 离散随机变量的概率密度函数与质量概率函数

对于离散随机变量 (D)，其样本空间 (S_D = {…,d_{i - 1},d_i,d_{i + 1},…})，概率密度函数（PDF）为：
[f_D(d) = \sum_{i} P({D = d_i})\delta(d - d_i)]
以抛硬币实验为例，随机变量 (V) 的 PDF 为 (f_V(v) = 0.5\delta(v) + 0.5\delta(v - 1))。

为避免 PDF 中的脉冲，可使用质量概率函数 (P_D(d) = P({D = d}))，此时累积分布函数（CDF）为：
[F_D(d) = \sum_{i | d_i\leq d} P_D(d_i)]

2. 常见分布

2.1 均匀分布

连续随机变量 (X) 在区间 ([a, b])（(b > a)）上均匀分布时，其 PDF 为：
[f_X(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{b - a}, & a\leq x\leq b \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}]
例如，实数均匀量化产生的误差就是均匀随机变量的例子。

2.2 高斯（正态）分布

高斯随机变量 (X) 的 PDF 为：
[f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_X^2}} e^{-\frac{(x - \overline{X})^2}{2\sigma_X^2}}]