数据结构 - 图 I (Graph I)

最新推荐文章于 2024-08-14 21:03:11 发布

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最新推荐文章于 2024-08-14 21:03:11 发布 · 1.3k 阅读

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本文详细介绍了图数据结构的基础知识，包括图的定义、类型、度概念、连通性和存储结构如邻接矩阵、邻接表、十字链表及邻接多重表。此外，还提到了图在最小生成树和最短路径问题中的应用。

本文将介绍图的基础知识，并用C++实现它。

它包含两部分：

在查看本文之前，需要一些数据结构和程序语言的基础。

尤其是“二维数组”、“矩阵”、“矩阵的压缩(matrix)”。一些遍历和应用的内容还需要“栈(stack)”，“队列(queue)”，“二叉树(binary tree)”等的知识。

图的概念很多，我们只说一些重要的，其它可以去查资料。

图：
- 图是由顶点集合（vertex）以及顶点间的关系集合（edge）组成的一种数据结构；
- 图是顶点的 有穷非空 集合；
- 有向图顶点有序，无向图顶点无序；
完全图：
- 完全无向图： $n$ 个顶点的无向图有 $\times (n-1) \div 2$ 条边；
- 完全有向图： $n$ 个顶点的有向图有 $\times (n-1)$ 条边；
邻接顶点：同一条边的两个顶点，互相称为邻接顶点；
权（ weight 或 cost ）：具有数值标识的边；
网络：带有权的图；
顶点的度：该顶点 $v$ 的入度和出度之和；
- 入度：以顶点为终点的边数，记作 $I D (v)$ ；
- 出度：以顶点为出发点的边数，记作 $O D (v)$ ；
路径：从一点到另一点所经过的顶点序列；
- 路径长度：通过的边数；
- 简单路径：经过的顶点互不重复；
- 回路（环）：出发点与终点重合；
连通：两个顶点间存在路径，则称这两个顶点连通。
- 连通图：
  - 无向图中，任意两个顶点都是连通的；
  - 有向图中，路径中任意两个顶点的边必须同向；
- 强连通图：有向图中，任意两个顶点都存在互通的路径，即双向路径。
- 生成树：连通图的极小连通子图，如果有 $n$ 个顶点，则有 $n - 1$ 条边

图的基本存储方式有：

在图的邻接矩阵表示中：

其中无向图的邻接矩阵是对称方阵，有向图的邻接矩阵不一定对称。

Tips
无向图的存储可以进行压缩。
特殊矩阵的压缩存储 (Compressed Storage of Special Matrix)

无向图的邻接矩阵，一般只存储与其它结点是否连接，0表示没有连接，1表示右连接。
例如：

其矩阵为：

$\begin{matrix} &A &B &C &D &E &F \\[2ex] A &0 &1 &0 &0 &1 &0 \\[2ex] B &1 &0 &0 &1 &1 &1 \\[2ex] C &0 &0 &0 &1 &0 &1 \\[2ex] D &0 &1 &1 &0 &0 &0 \\[2ex] E &1 &1 &0 &0 &0 &0 \\[2ex] F &0 &1 &1 &0 &0 &0 \end{matrix}$
有向图的邻接矩阵，分有没有权值：
- 没有权值依然存储0或者1；
- 有权值的话存储的是权值，其矩阵也叫网络邻接矩阵，如果无连接用无穷符号（ $\infin$ ）表示。