编程基础 - 特殊矩阵的压缩存储 (Compressed Storage of Special Matrix)

编程基础 - 特殊矩阵的压缩存储 (Compressed Storage of Special Matrix)

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本文将用C++实现特殊方阵和稀疏矩阵的压缩存储。

在查看本文之前，需要一些程序语言的基础，还要对“矩阵”与“二维数组”有一定了解。

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1 特殊矩阵 (Special Matrix)

特殊矩阵：非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵。

压缩存储：在特殊矩阵中为了节省空间，有一些元素不必存储。

在程序中，最常见的特殊矩阵：

• 上三角矩阵：方阵中只在上三角有元素；

• 下三角矩阵：方阵中只在下三角有元素；

• 对称矩阵：方阵中的上三角与下三角关于对角线对称；

• 三对角矩阵：方阵中只有主对角线及其上下临近平行线有元素；

• 稀疏矩阵：非零元素的数量远远小于矩阵元素数量。

  • 稀疏因子e：非零元素与长宽乘积的比值（有人认为e小于0.05才能称为稀疏矩阵）

10x10特殊矩阵格式如下：

上三角矩阵：
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
  0  11  12  13  14  15  16  17  18  19
  0   0  20  21  22  23  24  25  26  27
  0   0   0  28  29  30  31  32  33  34
  0   0   0   0  35  36  37  38  39  40
  0   0   0   0   0  41  42  43  44  45
  0   0   0   0   0   0  46  47  48  49
  0   0   0   0   0   0   0  50  51  52
  0   0   0   0   0   0   0   0  53  54
  0   0   0   0   0   0   0   0   0  55

下三角矩阵：
  1   0   0   0   0   0   0   0   0   0
  2   3   0   0   0   0   0   0   0   0
  4   5   6   0   0   0   0   0   0   0
  7   8   9  10   0   0   0   0   0   0
 11  12  13  14  15   0   0   0   0   0
 16  17  18  19  20  21   0   0   0   0
 22  23  24  25  26  27  28   0   0   0
 29  30  31  32  33  34  35  36   0   0
 37  38  39  40  41  42  43  44  45   0
 46  47  48  49  50  51  52  53  54  55

对称矩阵：
  1   2   4   7  11  16  22  29  37  46
  2   3   5   8  12  17  23  30  38  47
  4   5   6   9  13  18  24  31  39  48
  7   8   9  10  14  19  25  32  40  49
 11  12  13  14  15  20  26  33  41  50
 16  17  18  19  20  21  27  34  42  51
 22  23  24  25  26  27  28  35  43  52
 29  30  31  32  33  34  35  36  44  53
 37  38  39  40  41  42  43  44  45  54
 46  47  48  49  50  51  52  53  54  55

三对角矩阵：
  1   2   0   0   0   0   0   0   0   0
  3   4   5   0   0   0   0   0   0   0
  0   6   7   8   0   0   0   0   0   0
  0   0   9  10  11   0   0   0   0   0
  0   0   0  12  13  14   0   0   0   0
  0   0   0   0  15  16  17   0   0   0
  0   0   0   0   0  18  19  20   0   0
  0   0   0   0   0   0  21  22  23   0
  0   0   0   0   0   0   0  24  25  26
  0   0   0   0   0   0   0   0  27  28

稀疏矩阵：
  0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
 17   0   0   0   3   0   0   0   0   0
  0   0  69   0   0   0   0   0   0   0
  0   0   0   0   0   0   0   0  61   0
  0   0   0  42   0  98   0   0   0   0
  0   0   0   0   0   0   0   0   0  88
  0   0   0   0   0   0   0  53   0   0
  0   0   0   0   0   0   0   0   2   0
  0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
  0   0   0   0  60   0   0   0   0   0

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2 压缩矩阵 (Compress Matrix)

压缩存储，一般是采用数组或列表形式存储它们。

我们要干的是：

• 计算它们存储位置（下标）

• 如何根据压缩结构还原成矩阵

（提示：在优快云的app中，公式有可能会乱码，可以用网页查看）

我们在这里，假设 $n\times n$ 矩阵二维数组或向量的纵下标 $i$ ，横下标 $j$ ，压缩后下标 $k$ 。它们都是从0开始。稀疏矩阵比较特殊。

压缩后数组长度size:

• 上三角矩阵、下三角矩阵和对称矩阵： $$size=\frac{n\times (n+1)}{2}$$

• 三对角矩阵（第一行，最后一行是2个元素，其余都是3个元素）： $$size=3\times n-2$$

• 稀疏矩阵：非零元素数量

矩阵下标转压缩数组下标 （按行） ：

• 上三角方阵

  • 第 $i$ 行之前的元素数量： $\frac{(n-(i-1))+n}{2}\times i$
  • 第 $i$ 行第 $j$ 列之前的元素数量： $j-i$
  • 最终下标 $k$ 为：
    $$k=\frac{(2\times n-i+1)\times i}{2}+(j-i)$$

• 下三角方阵与对称矩阵

  • 第 $i$ 行之前的元素数量： $\frac{(1+i)\times i}{2}$
  • 第 $i$ 行第 $j$ 列之前的元素数量： $j$
  • 最终下标 $k$ 为：
    $$k=\frac{(1+i)\times i}{2}+j$$

• 三对角方阵

  • 第 $i$ 行之前的元素数量： $0,(i=0);$