算法 - 图的实例 - 拓扑排序与关键路径 (Topological Sort and Critical Path)

算法 - 图的实例 - 拓扑排序与关键路径 (Topological Sort and Critical Path)

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本文将介绍活动网络的基础知识，并用C++实现拓扑排序(Topological Sort)和关键路径(Critical Path)。

在查看本文之前，需要一些数据结构和程序语言的基础。

尤其是“矩阵”、“矩阵的压缩(matrix)”、“图(graph)”等的知识。

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1 拓扑排序与关键路径简述 (Introduction)

• AOV网络(Activity on Vertices)：用有向图表示一个工程，每一个顶点表示活动，用边表示活动方向，边开始的顶点是结束顶点的前置条件。

  • AOV网络不能有有向回路，即不能有有向环；
  • 将各个顶点排列成一个线性有序序列的运算，称为拓扑排序；
  • 如果网络存在有向环，则表示此工程不可行。

• AOE网络(Activity on Edges)：用有向图表示一个工程，每一条边表示活动，用边上权值表示活动时间，顶点表示事件。

  • AOE网络不能有有向回路，即不能有有向环；
  • 完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，这条最长路径称为关键路径；
  • 关键路径上的活动称为关键活动。

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2 拓扑排序 (Topological Sort)

拓扑排序方法：

• （1）输入AOV网络；

• （2）从AOV网路中选择一个没有直接前驱的顶点，输出；

• （3）从图中删除该点，同时删除它所有的边；

• （4）重复步骤（2）和（3），直到所有顶点均输出；或者还剩下顶点，表明此图存在有向环。

例如下图：没有前驱的顶点，只能是 V₂ 和 V₄ 。

所以拓扑排序顺序：

• V₂，V₄，V₀，……

• V₄，V₂或V₀， ……

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3 拓扑排序C++代码 (Topological Sort C++ Code)

// Author: https://blog.youkuaiyun.com/DarkRabbit
// Activity Network
// 获取首批没有直接前驱的顶点和计算所有入度
// params:
//      graph:          图
//      vertexStack:    起始顶点栈
//      indegrees:      输出的入度
// return:
//      bool:           是否有起始点，图是否不是环
bool GetBeginVertexesAndIndegrees(AMGraphInt* graph,
                                  std::stack<int>& vertexStack,
                                  std::vector<int>& indegrees)
{
   
   
    double infinity = graph->GetDefaultWeight(); // 无边权值，即正无穷
    int size = graph->GetVertexCount(); // 顶点数量
    indegrees.assign(size, 0);
    
    double weight;
    for (int c = 0; c < size; c++) // 对列循环，即终点
    {
   
   
        bool hasEdge = false;

        for (int r = 0; r < size; r++) // 对行循环，即起始点
        {
   
   
            graph->TryGetWeight(r, c, weight); // 获取权重
            if (weight != infinity) // 如果有边
            {
   
   
                hasEdge = true; 
                indegrees[c]++; // 入度+1
            }
        }

        if (!hasEdge) // 如果顶点没有直接前驱
        {
   
   
            vertexStack.push(c); // 加入起始顶点
        }
    }

    return !vertexStack.empty(); // 没有起始点，说明图是个环
}

// 拓扑排序
// params:
//      graph:      需要排序的图
//      paths:      输出的顺序
// return:
//      bool:       是否出错
bool TopologicalSort(AMGraphInt* graph, 
                     std::vector<int>& paths)
{
   
   
    if (graph == nullptr || !graph->IsOriented()) // 无向图返回
    {
   
   
        return false;
    }

    paths.clear();
    int size = graph->GetVertexCount(); // 顶点数量
    if (size == 0) // 没有顶点
    {
   
   
        return true;
    }

    double infinity = graph->GetDefaultWeight(); // 无边权值，即正无穷
    
    std::stack<int> vertexStack; // 顶点栈
    std::vector<int> indegrees; // 顶点入度

    // 获取首批没有直接前驱的顶点和计算所有入度
    if (!GetBeginVertexesAndIndegrees(graph, vertexStack, indegrees))
    {
   
   
        return false; // 没有顶点，说明起始图就是个环
    }

    double weight;
    for (int i = 0; i < size; i++)
    {
   
   
        if (vertexStack.empty()) // 没有入度为0的顶点了
        {
   
   
            return false; // 有环
        }
        else
        {
   
   
            int vertex = vertexStack.top();
            vertexStack.pop();

            paths.push_back(vertex); // 输出路径

            // 将此顶点连接的顶点入度-1
            for (int c = 0; c < size; c++)
            {
   
   
                graph->TryGetWeight(vertex, c, weight);
                
                // 入度-1，如果没有入度了入栈
                if (weight != infinity && --indegrees[c] == 0)
                {
   
   
                    vertexStack.push(c);
                }
            }
        }
    }

    return true;
}

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4 关键路径 (Critical Path)

关键路径：从源点到汇点具有最大长度的路径；

关键活动：关键路径上的活动；

我们假设带权有向图中，顶点为 { v₀, v₁, …, v_i, …, v_n-1 } ，边为 { e₀, e₁, …, e_j,… } 。

• 事件最早开始时间：顶点 v_i 最早发生的时间；

• 事件最迟开始时间：顶点 v_i 最迟发生的时间，如果超过这个时间，工程将延误；

• 活动的最早开始时间：边 e_j 最早发生的时间；

• 活动的最迟开始时间：边 e_j 最迟发生的时间，如果超过这个时间，工程将延误。

举例说明：

此图已经按拓扑排序编号。

• 事件最早活动时间 VE (Vertex Earliest Time) ：

  $$\begin{array}{rl}VE(v_0)& \\ VE(v_1)& =v\\ VE(v_2)& \\ VE(v_3)& \\ VE(v_4)& \\ VE(v_5)& \\ VE(v_6)& \\ VE(v_7)& \end{array}$$