堆排序算法及实现

1、堆排序定义

堆是一棵顺序存储的完全二叉树。

• 其中每个结点的关键字都不大于其孩子结点的关键字，这样的堆称为小根堆。
• 其中每个结点的关键字都不小于其孩子结点的关键字，这样的堆称为大根堆。

举例来说，对于n个元素的序列{R0, R1, ... , Rn}当且仅当满足下列关系之一时，称之为堆：

• Ri <= R2i+1 且 Ri <= R2i+2 (小根堆)
• Ri >= R2i+1 且 Ri >= R2i+2 (大根堆)

大顶堆

 

堆特征：

• 堆顶元素(完全二叉树的根)必为序列中n个元素的最小值或最大值
• 堆中任何一个结点的非空左右子树都是一个堆
• 根结点到任一个叶结点的每条路径上的结点值(关键字)都递减有序(或递增有序)

 堆排序需解决的2个问题

1、堆构建：如何由一个无序序列建成一个堆？

2、堆排序：如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素，使之成为一个新的堆？

 2、堆构建

对待排序的记录，建成相应的完全二叉树从无序序列的第个元素(即此无序序列对应的完全二叉树的最后一个非终端结点)起，至第一个元素止，进行反复筛选。

3、堆排序 

定义：

将无序序列建成一个堆，得到关键字最小(或最大)的记录；

输出堆顶的最小(或最大)值后，使剩余的n-1个元素重又建成一个堆，则可得到n个元素的次小值；

重复执行，得到一个有序序列，这个过程叫堆排序。

排序过程：

1、输出堆顶元素之后，以堆中最后一个元素替代之；

2、然后将根结点值与左、右子树的根结点值进行比较，并与其中小者进行交换；重复上述操作，直至叶子结点，将得到新的堆，称这个从堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。

 

4、算法实现 

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

//构建大顶堆
void HeapAdjust(vector<int> &list, int parent, int length){
	int temp = list[parent];					// temp保存当前父节点
	int child = 2 * parent + 1;					// 先获得左孩子

	while (child < length){
		// 如果有右孩子结点，并且右孩子结点的值大于左孩子结点，则选取右孩子结点
		if (child + 1 < length && list[child] < list[child + 1]){
			child++;
		}

		// 如果有右孩子结点，并且右孩子结点的值大于左孩子结点，则选取右孩子结点
		if (temp >= list[child]){
			break;
		}

		// 把孩子结点的值赋给父结点
		list[parent] = list[child];

		// 选取孩子结点的左孩子结点,继续向下筛选
		parent = child;
		child = 2 * parent + 1;
	}
	list[parent] = temp;
}

//堆排序
vector<int> HeadSort(vector<int> list){
	int length = list.size();
	// 循环建立初始堆
	for (int i = length / 2 - 1; i >= 0; i--){
		HeapAdjust(list, i, length);
	}

	// 进行n-1次循环，完成排序
	for (int i = length - 1; i > 0; i--){
		// 最后一个元素和第一元素进行交换
		int temp = list[i];
		list[i] = list[0];
		list[0] = temp;

		// 筛选 R[0] 结点，得到i-1个结点的堆
		HeapAdjust(list, 0, i);
		cout << "第" << length - i << "趟排序:";
		for (int i = 0; i < list.size(); i++){
			cout << list[i] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	return list;
}

void main(){
	int arr[] = { 6, 4, 8, 9, 2, 3, 1 };
	vector<int> test(arr, arr + sizeof(arr) / sizeof(arr[0]));
	cout << "排序前:";
	for (int i = 0; i < test.size(); i++){
		cout << test[i] << " ";
	}
	cout << endl;
	vector<int> result;
	result = HeadSort(test);
	cout << "排序后:";
	for (int i = 0; i < result.size(); i++){
		cout << result[i] << " ";
	}
	cout << endl;
	system("pause");
}

 运行结果：