(2)斐波那契数列及其应用跳台阶问题

最新推荐文章于 2023-08-29 16:05:27 发布

dangzhileiqaz

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分类专栏：经典面试编程题

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本文探讨了斐波那契数列的两种实现方式：递归与循环，并对比了它们的时间复杂度。此外，还通过跳台阶问题展示了斐波那契数列的实际应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斐波那契公式：

递归实现：

输入参数n类型：unsigned int

函数体：

if : n == 0 -->返回 0

if : n == 1 -->返回1

if : n >= 2 --> 返回function(n - 1) + function(n - 2)

分析：随着n 的增大，重复计算同一个数的次数明显增多，例如求f(9)会用到f(6);求f(8) 和f(7) 同样会用到f(6);

故随着n的增大，递归所用资源急剧上升；

时间复杂度随着n 的增大呈现指数级增长；

循环实现：

当 (n >= 2)时，Fibonacci(2) = Fibonacci(0) + Fibonacci(1);

Fibonacci(3) = Fibonacci(1) + Fibonacci(2);

.....................................................................

Fibonacci(n) = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);

故求f(n)时，只需要知道f(n-1),f(n-2)即可；

时间复杂度O(n);

代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;

//----------------------------------------递归实现----------------------------------------------
long long   Fibonacci1(unsigned int n)
{
	if(n < 2)
		return n;
	else
		return  Fibonacci1(n - 1) + Fibonacci1(n - 2);
}

//--------------------------------------循环实现---------------------------------------------------
long long  Fibonacci2(unsigned int n)
{	
	if(n < 2) 
		return n;

	long long  FeiOne = 0;
	long long  FeiTwo = 1;
	long long  FeiN = 0;
	for(unsigned  i = 2; i <= n; ++i)
	{
		FeiN = FeiOne + FeiTwo;
		
		FeiOne = FeiTwo;
		FeiTwo = FeiN;
	}

	return FeiN;
}

int main()
{
	unsigned int n;
	cout<<"请输入一个正整数:";
	cin>>n;
	cout<<n<<'\n';
	
	cout<<"斐波那契数列Fei1()为："<<Fibonacci1(n)<<'\n';
	cout<<"斐波那契数列Fei2()为："<<Fibonacci2(n)<<endl;

	return 0;
}

跳台阶问题：

问题描述：一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上2级台阶；求该青蛙跳上一个n阶的台阶，总共有多少跳法？

分析：n =1-->直接跳上，跳法为1；

n = 2-->先跳台阶1，再跳台阶2；或者直接跳上台阶2；跳法总共有2种；

n > 2时；(1)若青蛙从台阶n-1，直接跳到台阶n；则跳法总数F(n) = F(n - 1)

(2)若青蛙从台阶n-2，直接跳到台阶n；则跳法总数F(n) = F(n - 2)

故：F(n) = F(n - 1) + F( n - 2);

发现其实是斐波那契数列的应用；