斐波那契数列与台阶问题

关于斐波那契数列，以下来自于百度百科

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）即第三个数为前两个数的和

斐波那契数列编程实现

题目：现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。
即 0,1,1,2,3,5,8…
那么有了递推的公式，就可以列出状态转移方程

//dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1];
class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        int first = 0;
        int second = 1;
        if(n == 0) return first;
        if(n == 1) return second;
        while(--n)
        {
            second += first;//second加完后为dp[i],即为下一次状态转移方程的dp[i-1]
            first = second - first;
            //first需要变成下一次状态转移方程的dp[i-2] 也就是上一次状态转移方程中的dp[i-1] ,dp[i-1] = dp[i] - dp[i-2]
        }
        return second;
    }
};

跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）

/*
动态规划
n级台阶由1级台阶 + n-1级台阶 或者是 2级台阶 + n-2级台阶
所以总方法是 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
状态转移方程为：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]
可知此为一个以1、2、3、5开始斐波那契数列
*/
class Solution {
public:
    int jumpFloor(int number) {
        int one = 1;
        int two = 1;
        if(number <= 0) return 0;
        while(--number)
        {
            two += one;
            one = two - one;
        }
        return two;
    }
};

跳台阶升级版——变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法

/*
方法一：
n级台阶方法为  
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-n)
f(n) = f(0) + f(1) + ... + f(n-2) + f(n-1)
f(n) = f(n-1) + f(n-1) = 2*f(n-1)
方法二：
将n级台阶抽象成n位2进制数，最高位n为终点，必须为1，
则第0位到次高位n-1可以随意取0或取1,取1代表会踩下此台阶，取0代表只是经过
则有2^(n-1)种方法
*/
//方法一
class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        if(number <= 0) return 0;
        else if(number == 1) return 1;
        else
            return 2*jumpFloorII(number-1);
    }
};
//方法二
class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number){
        return pow(2,number-1);// 见过更厉害的大神的答案 return 1 << --number;
    }
};

矩形覆盖问题：

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

/*
此题只需要考虑n
n可以由 n-2和2个1 或者 n-1和1个2组成 
dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1]
*/
class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        int first = 0;
        int second = 1;
        if(number <= 0) return 0;
        number += 1;
        while(--number)
        {
            second += first;
            first = second - first;
        }
        return second;
    }
};