【数据结构】--------二叉树的基本知识点总结

二叉树详解 本节目标 1. 掌握树的基本概念 2. 掌握二叉树概念及特性 3. 掌握二叉树的基本操作 4. 完成二叉树相关的面试题练习 阅读详情

一、树的定义

树是一种数据结构,它是由n(n>=1)个有限的结点组成的具有层次关系的集合。

这里写图片描述
树具有的特点有:
(1)每个结点有零个或多个子结点

(2)没有父节点的结点称为根节点

(3)每一个非根结点有且只有一个父节点

(4)除了根结点外,每个子结点可以分为多个不相交的子树。

树的基本术语有:
若一个结点有子树,那么该结点称为子树根的“双亲”,子树的根称为该结点的“孩子”。有相同双亲的结点互为“兄弟”。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

结点的度:结点拥有的子树的数目

叶子结点:度为0的结点

分支结点:度不为0的结点

树的度:树中结点的最大的度

层次:根结点的层次为1,其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1

树的高度:树中结点的最大层次

森林:0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根,森林即成为树;删去根,树即成为森林。

二、二叉树

1、二叉树的定义
二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态:二叉树可以是空集;根可以有空的左子树或右子树;或者左、右子树皆为空。
这里写图片描述

2、二叉树的定义
性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i>=1)

性质2:深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k>=1)

性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为(log2n)+1

性质4:在任意一棵二叉树中,若终端结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

3、性质4的证明

性质4:在任意一棵二叉树中,若终端结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

证明:因为二叉树中所有结点的度数均不大于2,不妨设n0表示度为0的结点个数,n1表示度为1的结点个数,n2表示度为2的结点个数。三类结点加起来为总结点个数,于是便可得到:n=n0+n1+n2 (1)
由度之间的关系可得第二个等式:n=n0*0+n1*1+n2*2+1即n=n1+2n2+1 (2)
将(1)(2)组合在一起可得到n0=n2+1

三、满二叉树、完全二叉树和二叉查找树

1、满二叉树

定义:高度为h,并且由2h-1个结点组成的二叉树,称为满二叉树。

这里写图片描述
2、完全二叉树
定义:一棵二叉树中,只有最下面两层结点的度可以小于2,并且最下层的叶结点集中在靠左的若干位置上,这样的二叉树称为完全二叉树。
这里写图片描述
特点:叶子结点只能出现在最下层和次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然,一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树,而完全二叉树未必是满二叉树。

面试题:如果一个完全二叉树的结点总数为768个,求叶子结点的个数。
由二叉树的性质知:n0=n2+1,将之带入768=n0+n1+n2中得:768=n1+2n2+1,因为完全二叉树度为1的结点个数要么为0,要么为1,那么就把n1=0或者1都代入公式中,很容易发现n1=1才符合条件。所以算出来n2=383,所以叶子结点个数n0=n2+1=384。

总结规律:如果一棵完全二叉树的结点总数为n,那么叶子结点等于n/2(当n为偶数时)或者(n+1)/2(当n为奇数时)

3、二叉查找树

定义:二叉查找树又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点,x结点包含关键字key,结点x的key值计为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点,则key[y]<=key[x];如果y是x的右子树的一个结点,则key[y]>=key[x]
这里写图片描述

在二叉查找树种:

(1)若任意结点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。

(2)任意结点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

(3)任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树。

(4)没有键值相等的结点。

数据结构-树与二叉树-思维导图+小结 数据结构-第五章-树与二叉树-思维导图+小结 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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【数据结构】树与二叉树核心知识点梳理(附经典例题解析)

2. 第6层最多有 2^5=32 个结点,其中8个是叶结点,说明有 32 - 8 = 24 个分支结点(每个分支结点对应2个第7层结点);深度为k、有n个结点的二叉树,结点按「从上到下、从左到右」编号后,编号为i的结点与满二叉树中编号i的结点位置完全一致。所有分支结点都有左、右子树,且所有叶结点都在同一层(深度为h的满二叉树有 2^h - 1 个结点)。题目:一棵非空完全二叉树的所有叶结点在同一层,且每个非叶结点都有2个子结点,若有k个叶结点,求总结点数。

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数据结构与算法主要的基本知识点

本文包含数据结构与算法主要的基本知识点,便于知识的梳理与回顾。部分知识点的详细介绍请在专栏内查阅。目录一、概述二、线性表三、栈四、队列五、串六、多维数组和广义表七、树和二叉树八、图九、查找十、排序一、概述 数据结构(逻辑结构、存储结构、算法) 数据项 ∈ 数据元素(记录) ∈ 数据。数据元素(结点):数据的基本单位。 数据项:不可分割,最小数据单位。 数据对象 :性质相同的数据元素的集合, 数据的子集。 1、逻辑结构(线性和非线性) 数据结构(相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合)集合:同属于一个

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