广义特征值与瑞利商

最新推荐文章于 2024-10-08 12:03:29 发布
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a r g m a x W = W T C 1 W W T C W , C 1 W = C W d i a g \underset{W} {argmax} = \frac{W^TC_1W}{W^TCW}, C_1W = CWdiag Wargmax​=WTCWWTC1​W​,C1​W=CWdiag
两个方程等价。广义特征值对应的特征向量依次为瑞利商取第一大值（等于最大特征值），第二大值（等于第二大特征值），第三大值时的特征向量

d_donh
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人工智能之数学基础:瑞利商的推广形式——广义瑞利商
huanfeng_AI的博客
03-26 91
广义瑞利商是对瑞利商的推广，它引入了第二个Hermitian矩阵B。其中，A和B均为n×n的Hermitian矩阵，x为非零向量，且B为正定矩阵（即对任意非零向量y，有y^H B y > 0）。对向量x进行缩放，广义瑞利商不变。
人工智能之数学基础:瑞利商与特征值的关系
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huanfeng_AI的博客
03-23 94
瑞利商（Rayleigh Quotient）是线性代数中的一个重要概念，它定义为一个标量函数，形式为：其中，A 是一个 n×n 的Hermitian矩阵（在实数情况下，通常指的是实对称矩阵），x 是一个非零的 n 维向量。
求解广义瑞利商的极值问题，包括局部最优值和全局最优值的论证
04-25
Given symmetric matrices B,D ∈ R n×n and a symmetric positive definite matrix W ∈ R n×n , maximizingthe sum of the Rayleighquotientx ? Dx andthe gener- alized Rayleigh quotient x ? Bx x ? Wx on the unit sphere not only is of mathematical interest in its own right, but also finds applications in practice. In this paper, we first present a real world application arising from the sparse Fisher discriminant analysis. To tackle this problem, our first effort is to characterize the local and global maxima by investi- gating the optimality conditions. Our results reveal that finding the global solution is closely related with a special extreme nonlinear eigenvalue problem, and in the spe- cial case D = μW (μ > 0), the set of the global solutions is essentially an eigenspace corresponding to the largest eigenvalue of a specially-defined matrix. The characteri- zation of the global solution not only sheds some lights on the maximization problem, but motives a starting point strategy to obtain the global maximizer for any monoton- ically convergent iteration. Our second part then realizes the Riemannian trust-region method of Absil, Baker and Gallivan (Found. Comput. Math. 7:303–330, 2007) into a practical algorithm to solve this problem, which enjoys the nice convergence prop- erties: global convergence and local superlinear convergence. Preliminary numerical tests are carried out and empirical evaluation of its performance is reported.
广义瑞利商_Rayleigh商及其性质.ppt
weixin_39908462的博客
12-18 1294
* §2-3 Rayleigh商及其性质 ---- Rayleigh商用来估计近似特征值。 一、 Rayleigh商定义 1、对于实对称矩阵[A]的标准特征问题 若用一个任意n维向量 代替 则 定义： 标准问题Rayleigh商定义 第3节 Rayleigh商及其性质 第 二 章 可见： 是向量 的函数，用它可以估算近似 其精度取决于近似向量 的选取 。 2、对于广义特征问题 ...
瑞利（Rayleigh）商定义及其求特征值法
java开发指南博客 【转载】
06-05 5387
主特征值是指模最大（如果是实数的话就是绝对值最大）的特征值 定义8.1.4设为阶实对称矩阵，对于任一非零向量，称 为对应于向量的瑞利（Rayleigh）商 定理8.1.11　设为对称矩阵（其特征值次序记为），则 （1）(对任何非零)； （2）； （3）． 证明　只证１，关于２，３留作习题． 由于为实对称矩阵，可将对应的特征向量...
广义瑞利商_瑞利商与极值计算
weixin_39832628的博客
12-28 1087
对于一个埃尔米特矩阵 及非零向量 ，定义瑞利商这里的 是 的共轭转置矩阵，如果 都由实数元素组成，那么瑞利商可以写成设 的特征值与特征向量分别为 ， ，并且有下面将证明，在 确定的情况下由于 是一个埃尔米特矩阵，所以存在一个酉矩阵 满足其中 ，将上式代入瑞利商假设 那么根据特征值的大小关系，可得如下不等式于是有设 的第 i 行，第 j 列元素为 ， 的第 i 行，第 j 列元...
瑞利商的证明
qq_35634966的博客
12-03 1342
瑞利商证明
SLNR预编码：广义瑞丽熵与广义特征向量
B417科研笔记
02-15 3301
前言 这两天在调研MIMO预编码算法文献的时候，恰巧看到了一篇这篇paper： A Leakage-Based Precoding Scheme for Downlink Multi-User MIMO Channels 解开了我之前对广义瑞丽熵最优解的证明疑惑。 便写这篇博客来记录一下。 问题 传统的多用户MIMO预编码，往往以速率， 也即SINR的函数为目标，SINR可写为： SINR⁡i=∥Hiwi∥2Miσi2+∑k=1,k≠iK∥Hiwk∥2 \operatorname{SINR}_{i}=\fr
瑞利商（Rayleigh quotient）与广义瑞利商（genralized Rayleigh quotient）
m1993zhao的博客
11-17 7307
我们首先来看看瑞利商的定义。瑞利商是指这样的函数R(A,x)R(A,x)R(A,x): R(A,x)=xHAxxHxR(A,x )=\frac{x^HAx}{x^Hx}R(A,x)=xHxxHAx​ 其中xxx为非零向量，而AAA为n×n的Hermitan矩阵。所谓的Hermitan矩阵就是满足共轭转置矩阵和自己相等的矩阵，即AH=AA^H=AAH=A。如果我们的矩阵A是实矩阵，则满足AT=AA^T=AAT=A的矩阵即为Hermitan矩阵。 瑞利商R(A,x)R(A,x)R(A,x)有一个非常重要的性质，
广义瑞利商_瑞利商和广义瑞利商
weixin_32098599的博客
12-28 892
最近在学习LDA，公式推导中很重要的部分就是瑞利商和广义瑞利商。# 瑞利商定义瑞利商函数是指这样的函数 ( , )$$R(A,x) = \cfrac{X^{H}Ax}{X^{H}x}$$其中 为$ × $的Hermitan矩阵。Hermitan矩阵，就是满足**共轭转置矩阵**和自己相等的矩阵，$A^{H}= $。$X^{H}$是$X$的共轭转置矩阵。> **共轭转置矩阵**矩阵有实数矩阵和...
21广义特征值和极大极小原理.pdf
09-14
本资源总结了广义特征值和极大极小原理的知识点，包括广义特征值的定义、特征向量、特征方程、等价表述、瑞利商、极大极小原理等内容。 一、广义特征值问题 广义特征值问题是指设 A、B 为 n 阶方阵，若存在数λ，...
PCA-Rayleigh商和特征值
weixin_45710335的博客
03-08 1206
关于Rayleigh商和特征值之间关系的数学公式,这些公式在矩阵分析和线性代数中是非常重要的概念,我们希望能从原理上证明
瑞利商及其极值的计算
june_young_fan的博客
11-12 1万+
前言 在机器学习中，特征工程应该说是流程中非常重要的一环，往往数据处理后的效果决定了你的算法模型能够达到的高度。本文中提及的 LDA 均指的是线性判别分析（Linear Discriminant Analysis），而不是 NLP 领域的隐含狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation），两者是有本质的区别的。 一、LDA的思想 LDA 是一种监督学习的降维技术，也就是说它...
瑞利商（Rayleigh Quotient）及瑞利定理（Rayleigh-Ritz theorem）的证明
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klcola的专栏
04-09 3万+
https://www.planetmath.org/RayleighRitzTheorem 瑞利商（Rayleigh quotient） 厄米特矩阵（Hermitian Matrix） 复平面（Complex Plane） 考虑形如 a+bia+bia+bi 的复数，该数代表复平面上的一个点。复平面中 xxx 轴代表实数部分，yyy 轴代表虚数部分，这样 a+bia+bia+bi 在复平面上就代...
广义瑞利商
weixin_60297542的博客
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定义广义瑞利商为
矩阵论（五）：矩阵的正定性
niu_123ming的博客
11-14 3万+
最近学习凸优化理论，最速下降方法中有个二次范数的概念，涉及到正定矩阵的种种性质，牛顿下降方法中的牛顿方向和收敛性证明也用到矩阵的正定性。对矩阵正定性的研究用特征值分解比较方便，正好前面的博客整理过特征值分解的内容，这篇博客就梳理一下矩阵正定性的常用知识~~ 线性代数基础知识（上） 线性代数基础知识（下） 广义逆矩阵 矩阵分解——从Schur分解、特征值分解到奇异值分解 矩阵的正定性及其性质 ...
瑞利商性质及证明（上下界）
November、Chopin
12-15 6759
瑞利商及性质证明
线性判别准则与线性分类编程实践
weixin_56102526的博客
11-02 1144
线性判别准则与线性分类编程实践一、线性判别分析LDA原理（一）线性判别分析LDA简介（二） LDA的思想（三） 瑞利商(Rayleigh quotient)与广义瑞利商(genralized Rayleigh quotient)（四） LDA的原理及推导过程（五）LDA算法流程（二）线性分类算法（支持向量机SVM）（一）SVM简介（二）支持向量1, 线性可分2.最大间隔超平面3. 支持向量4.SVM 最优化问题（三）对偶问题1. 拉格朗日乘数法2.强对偶性（四） SVM 优化（五）软间隔1.解决问题2.优化
关于（广义）代数特征值问题的一点注记
LSEC小陆的博客
02-26 2766
关于（广义）代数特征值问题的一点注记 感谢王同学和王同学提供的一些信息和资料。 文章目录关于（广义）代数特征值问题的一点注记常用特征值计算方法概述对称特征值问题非对称特征值问题Krylov 子空间方法对于大规模问题小小的总结 常用特征值计算方法概述 对称特征值问题 Jacobi 迭代 、Rayleigh 商迭代 、对称 QR 迭代方法、 分而治之法 、对分法和反迭代法 对称 QR 迭代：对称矩阵的 QR 方法，首先将矩阵约化为 Herssenberg 矩阵，然后在求解该矩阵的特征值。对于对称三角
求解广义瑞利商极值问题：数学与实践应用
4. **非线性特征值问题**：在寻找全局最优解时，与之密切相关的特殊问题，对于特定矩阵的特征值分析至关重要。 5. **特殊案例分析**：当D=μW（μ>0）时，全局最优解可以通过最大特征值的计算得到，这简化了问题的...
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