瑞利商（Rayleigh Quotient）及瑞利定理（Rayleigh-Ritz theorem）的证明

注 数学系列为本人学习笔记，水平有限，错误在所难免，请读者不吝指正。

证明主体部分来自下面的链接。
https://www.planetmath.org/RayleighRitzTheorem

先来看几个基本概念

复平面（Complex Plane）

考虑形如 $a+bi$ 的复数，该数代表复平面上的一个点。复平面中 $x$ 轴代表实数部分，$y$ 轴代表虚数部分，这样 $a+bi$ 在复平面上就代表坐标为 $(a,b)$ 的一个点。复数 $a+bi$ 也可以看作在复平面上以原点 $(0,0)$ 为出发点，以 $(a,b)$ 为终点的向量。这样，对于复数的加减就相当于对复平面上的向量进行加减。

复共轭（complex conjugate） 定义复数 $z=a+bi$ 的共轭 $z^{\ast }$ 为 $z^{\ast }=a-bi$ 。

两个有用的公式
$$z_1^{\ast }\times z_2^{\ast }=(z_1\times z_2{)}^{\ast }\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$z_1^{\ast }+z_2^{\ast }=(z_1+z_2{)}^{\ast }\text{\hspace{1em}(2)}$$ 例如 ，$z_1=3+2i$，$z_2=1-i$，则 $$\begin{gathered} z_1^{\ast }\times z_2^{\ast }=(3-2i)\times (1+i)=5+i \\ {z}_1\times z_2=(3+2i)\times (1-i)=5-i \\ {z}_1^{\ast }+z_2^{\ast }=(3-2i)+(1+i)=4-i \\ {z}_1+z_2=(3+2i)+(1-i)=4+i \end{gathered}$$

矩阵特征值和特征向量的共轭
如果 $\mathbf{A}$ 是实数矩阵，并且 $$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$$ 那么 $$\mathbf{A}{\mathbf{x}}^{\ast }={\lambda }^{\ast }{\mathbf{x}}^{\ast }$$

复数和其共轭相乘或相加得实数 即 $$\begin{gathered} z+z^{\ast }\in \mathbb{R} \\ z\times z^{\ast }\in \mathbb{R} \end{gathered}$$
一些有用的公式 $$\begin{array}{rl}|(a+bi){|}^2& =a^2+b^2\\ (a+bi)(a-bi)& =a^2+b^2\\ \frac{1}{a+bi}& =\frac{1}{a+bi}\frac{a-bi}{a-bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}\end{array}$$
在单位元上，即 $a^2+b^2=1$ 时，$(a+bi{)}^{-1}=a-bi$，即 $1/z=z^{\ast }$ 。

复数的绝对值
$$|z|=|a+bi|=\sqrt[2]{a^2+b^2}$$ $|z|$ 通常还被记为 $r$ 。当 $a^2+b^2=1$ 时，$r$ 就是单位圆的半径。$z$ 和 $x$ 轴的夹角记为 $\theta$，$z$ 平方后与 $x$ 轴的夹角变为 $2\theta$。

复数的指数形式
$$\begin{gathered} z=r\cos \theta +ir\sin \theta =r{e}^{i\theta } \\ {z}^n=r^n\cos n\theta +i{r}^n\sin n\theta =r^n{e}^{in\theta } \end{gathered}$$ 设 $z^{\prime }=r^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }+i{r}^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }$，则 z × z ′ = ( r cos ⁡ θ + i r sin ⁡ θ ) × ( r ′ cos ⁡ θ ′ + i r ′ sin ⁡ θ ′ ) = r r ′ ( cos ⁡ ( θ + θ ′ ) + i sin ⁡ ( θ + θ ′ ) ) z \times z' = (r\cos\theta + ir\sin\theta) \times (r'\cos\theta' + ir'\sin\theta') \\ = rr'(\cos(\theta + \theta')+i\sin(\theta + \theta')) z×z