瑞利（Rayleigh）商定义及其求特征值法

主特征值是指模最大（如果是实数的话就是绝对值最大）的特征值

定义8.1.4设为阶实对称矩阵，对于任一非零向量，称

为对应于向量的瑞利（Rayleigh）商

定理8.1.11　设为对称矩阵（其特征值次序记为），则

（1）(对任何非零)；

（2）；

（3）．

证明　只证１，关于２，３留作习题．

由于为实对称矩阵，可将对应的特征向量正交规范化，则有．设为中任一向量，则有展开式

，

于是

．

从而１成立，结论１说明瑞利商必位于和之间．

关于计算矩阵的特征值问题，当时，我们还可按行列式展开的办法求的根．但当较大时，如果按展开行列式的办法，首先求出的系数，再求的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵特征值是不切实际的，由此需要研究求的特征值及特征向量的数值解法．

本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似变换的方法（变换法）．

2．瑞利商加速

由定理8.1.11知，对称矩阵的及可用瑞利商的极值来表示．下面我们将把瑞利商应用到用幂法计算实对称矩阵的主特征值的加速收敛上来．

定理8.2.3　设为对称矩阵，特征值满足

，

对应的特征向量满足，应用幂法（公式(8.2.9)）计算的主特征值，则规范化向量的瑞利商给出的

．

证明　由(8.2.8)式及

，

得

．　　(8.2.11)