43、DNA自组装与混合二分图的埃尔米特邻接矩阵逆矩阵

DNA自组装与混合二分图的埃尔米特邻接矩阵逆矩阵

1. DNA自组装相关研究

在DNA自组装中，对于某些特定的瓷砖（tile），存在一个重要的结论：对于任何一种键边类型（bond - edge type），该瓷砖无法创建中心顶点。若考虑用于连接使用相同瓷砖的不同对中的两个顶点的键边类型，会发现这两个顶点都不能成为该键边类型的中心顶点，这就产生了矛盾。所以，瓷砖最多只能在一对中重复使用，并且有 (T_3(CP_n) \geq 2n - 1)。

目前在某些场景下，已经得到了完全三部图和鸡尾酒会图的完整结果。对于完全三部图的场景2的进一步研究可能会揭示更多定理，但很可能需要考虑许多不同的情况。此外，某个定理（文中定理7）可能对其他类型的图也有用，比如偶数正则的简单 (k) - 正则图。

2. 混合二分图的埃尔米特邻接矩阵

2.1 研究背景

代数图论在过去几十年有了巨大的发展，其目标是将图的性质转化为代数性质，然后利用代数的结果和方法来推导关于图的定理。其中，图的谱是代数图论中一个重要的领域，主要研究与图相关的矩阵的特征值和特征向量。

传统上，无向图的邻接矩阵是文献中常见的研究对象，它是一个方阵，若顶点 (u) 到顶点 (v) 有边相连，则 (uv) 位置的元素为1，否则为0。这个矩阵是对称的，其所有特征值都是实数，便于利用线性代数中处理对称矩阵的定理进行研究。

而对于有向图（包括定向图、有向图和混合图），传统的邻接矩阵（若从 (u) 到 (v) 有弧，则 (uv) 位置为1，否则为0）不是对称的，且不总是可对角化的，其谱并不总是实数，因此对有向图邻接矩阵谱的研究在文献中并不常见。