44、谢尔宾斯基三角图与河内图的性质探究

谢尔宾斯基三角图与河内图的性质探究

1. 引言

谢尔宾斯基三角形是一种广为人知的分形图形。它的迭代构造方式是从一个三角形（第 1 级）开始，每一步将三个第 k 级的三角形组合在一起，形成第 k + 1 级的三角形。我们可以通过两种不同的方式将谢尔宾斯基三角形建模为图，分别得到谢尔宾斯基三角图和河内图。

1.1 建模方式

• 模型 1 ：每条线的交点用一个顶点表示，顶点之间的线段用一条边表示。这种方式得到的图就是谢尔宾斯基三角图。
• 模型 2 ：分形的每个第 1 级副本用一个顶点表示，有公共点的顶点之间有边相连。这种方式得到的图是河内图，它可以看作是模型 1 中图的某种对偶图。

2. 谢尔宾斯基三角图

2.1 基本定义与参数

设第 k 级的谢尔宾斯基三角图为 $ST_k$，则 $ST_1 = K_3$（完全图 $K_3$）。其顶点数的递推关系为 $n_1 = 3$，$n_{k + 1} = 3n_k - 3$，解为 $n_k = \frac{3}{2}3^{k - 1} + \frac{3}{2}$；边数为 $m_k = 3^k$。$ST_k$ 有 3 个度为 2 的顶点（称为角点）和 $\frac{3}{2}3^{k - 1} - \frac{3}{2}$ 个度为 4 的顶点，包含在两个 $ST_{k - 1}$ 副本中的三个顶点称为中间顶点。

2.2 欧拉回路数量

由于 $ST_k$ 是连通的且所有顶点的度都是偶数，所以它是欧拉图。我们可以计算