10、图像纹理与形状特征提取方法详解

图像纹理与形状特征提取方法详解

1. 离散曲波变换

1.1 离散曲波变换定义

对于数字图像 $f(m, n)$，其中 $0 \leq m \leq M - 1$，$0 \leq n \leq N - 1$，离散曲波变换定义如下：
[C_{j,h}(k, l) = \sum_{n = 0}^{N - 1} \sum_{m = 0}^{M - 1} f(m, n) w_{j,h,k,l}(m, n)]
其中，$w_{j,h,k,l}(m, n)$ 是离散曲波，$j$ 和 $h$ 分别表示尺度和方向，$k$ 和 $l$ 是空间位置参数。曲波的频率响应呈楔形，频率平面的曲波划分如图 5.14 所示。

1.2 曲波特性

在频率域中，曲波在垂直于其方向上呈现振荡行为。在最粗尺度下，曲波是无方向的；而在最高尺度下，曲波波形变得非常精细，看起来像针状元素。随着分辨率水平的提高，曲波在空间域中变得更精细、更小，并且对曲线边缘更敏感，能够有效地捕捉图像中的曲线。

1.3 曲波变换计算

尽管曲波在捕捉图像中的非线性边缘方面具有优势，但曲波变换的计算比 Gabor 滤波器和小波都更复杂。为了提高效率，曲波变换通常在频率域中实现。具体过程如下：
1. 使用快速傅里叶变换（FFT）将曲波和输入图像 $I$ 转换到频域。
2. 在频域中将两个 FFT 结果相乘。
3. 使用逆快速傅里叶变换（FFT⁻¹）将乘积转换回时域，得到曲波系数。

该过程可以描述为：
[ \text{Curvelet transform}(I) = \text{FFT}^{-1}[\tex