4、图像分析中的时频变换与特征提取技术

图像分析中的时频变换与特征提取技术

1. 加窗傅里叶变换方法

1.1 高斯函数的频域特性

在信号处理与图像分析中，函数 (g(x, y)) 的频率响应或傅里叶变换是高斯函数 (G(u, v))，且 (G(u, v)) 的窗口大小与 (g(x, y)) 的窗口大小成反比，具体关系如下：
(r_u = \frac{1}{2\pi r_x})
(r_v = \frac{1}{2\pi r_y})
这一关系可用于确定空间域中的窗口大小。在信号分析与表示中，低频信息比高频信息更为重要。因此，在频域平面中，低频部分的分辨率要高于高频部分。通常通过为低频分配较窄的带宽，为高频分配较宽的带宽来实现这一点，且带宽通常按倍频程排列。

1.2 加博滤波器的设计

由于加博函数及其频率响应均为高斯函数，且二者关系由上述公式给出，所以加博滤波器通常在频域中进行设计。由于二维高斯函数会延伸至无穷，相邻的高斯函数之间存在大量重叠或冗余。为消除这种冗余，加博滤波器中的二维高斯函数在半高位置进行截断，取函数的上半部分作为高斯窗口。对于标准差为 (r) 的高斯函数，其半高全宽（FWHM）为 (2\sqrt{2\ln2}r)。

基于上述讨论，加博滤波器在频谱平面上的半幅度分布如下：
- 假设最低和最高水平频率分别为 (U_l) 和 (U_h)。
- (U_l) 处的窗口宽度（带宽）最小，记为 (r_l)。
- (aU_l) 处的窗口宽度为 (ar_l)。
- 第 (m) 个窗口在 (a^mU_l) 处，其宽度为 (a^mr_l)。
- (U_h = a^{M - 1}U_l) 处的窗口宽度为