4、马尔可夫模型与图像处理编程

马尔可夫模型与图像处理编程

1. 马尔可夫模型基础

马尔可夫模型在处理具有状态转移和输出的问题中非常有用。考虑一个具有四个状态（s1、s2、s3、s4）和四个时间值的问题，如图所示，有一条穿过该问题的路径。

对于目标函数 $L$，我们可以通过计算每个状态下输出的对数概率之和来得到。例如，对于给定的路径，函数 $\Gamma$ 的值为：
$\Gamma = \ln p(y(1) = 2|s(1) = s1) + \ln p(y(2) = 1|s(2) = s2) + \ln p(y(3) = 2.2|s(3) = s3) + \ln p(y(4) = 1|s(4) = s1)$

图中每条边都有一个与之关联的值，由转移概率确定的函数 $\Delta$ 决定。因此，图中每一条可能的路径都对应着目标函数 $L$ 的一个值。

为了找到最佳路径，我们可以使用归纳法。假设在时间 $t$ 时，我们已经找到了到达每个节点的最佳路径，其成本记为 $LB_i(t)$，$i = 1, \cdots, m$。那么，我们可以通过以下公式计算从时间 $t$ 的每个节点到时间 $t + 1$ 的每个节点的成本（共 $m^2$ 次计算）：
$L’ {ij}(t + 1) = LB_i(t) + \Gamma(y(t + 1)|s_j(t + 1)) + \Delta {i,j}$

时间 $t + 1$ 时到达节点 $j$ 的最佳路径是这些值中的最大值。当我们最终到达时间步 $N$ 时，终止最佳路径的节点就是最终节点。

该算法的计算复杂度为 $Nm^2$，远小于简单穷举所有可能路径的复杂度 $m^N$。