8、量子系统时间演化数值方法解析

量子系统时间演化数值方法解析

在量子系统的研究中，准确求解系统的时间演化是一个关键问题。本文将详细介绍几种用于解决量子系统时间演化问题的数值方法，包括CN算法、指数近似方法（如泰勒级数近似和Padé近似）以及Lanczos子空间动力学方法。

1. CN算法

CN算法（Crank - Nicolson算法）是一种简单且有效的数值方案。对于求解 $y_{q + 1}$，遵循以下步骤：
1. 定义 $\overline{A} \equiv A_{t_{q+1/2}}$。
2. 计算 $\overline{y} = \frac{y_{q + 1} + y_q}{2}$。
3. 得到方程 $(I + \overline{A})\overline{y} = y_q$。
4. 求解 $\overline{y}$，然后通过 $y_{q + 1} = 2\overline{y} - y_q$ 计算 $y_{q + 1}$。

该算法具有良好的性质，它能保持解的范数，在时间和空间上均具有二阶精度（$\sim \tau^2$）且稳定。通过对未来未知分量的求解，可以验证其稳定性：
$\psi_{q + 1}^i = \frac{1 - i\frac{\tau}{2}H_q^i}{1 + i\frac{\tau}{2}H_q^i}\psi_q^i$
假设一个“试探”解 $\psi_q^i = A_q e^{ijk_q}$，可以证明 $\left|\frac{\psi_{q + 1}^i}{\psi_q^i}\right|^2 = 1$。值得注意的是，该方法在求解过程中并不需要对矩阵进行对角化。

2. 指数近似方法