5、数值计算中的方法与空间近似策略

数值计算中的方法与空间近似策略

1. Lanczos 算法及其局限性

Lanczos 算法在构造跨越感兴趣的 Krylov 子空间的正交基时具有重要作用，通过向量计算 Aqn 可确保在理想精度下构建这样的正交基。然而，随着 M 的增加，Lanczos 过程会受到舍入误差的影响，逐渐无法维持正交性。

为应对这一问题，可采用以下策略：
- 尽量保持 M 较小。
- 进行重新正交化过程，强制将非三对角元素设为零，因为这些元素通常值非常小。

正因如此，Lanczos 算法常被用作短时间迭代方法，且需要不断重建 Krylov 基。理论上，Lanczos 算法用于将矩阵 A 约简为 T，然后通过其他算法（如 QR 分解）计算其特征值。但由于舍入误差产生的不稳定性，它更适合近似矩阵 A 谱中最正和最负的特征值。同样，Lanczos 方法也用于求解初值微分方程问题的短时间迭代算法，短时间条件能确保 M 值较低且维持正交性。

2. 相关问题探讨

2.1 球谐函数特征值问题转化为 Sturm–Liouville 勒让德方程

从球谐函数的特征值方程和 ˆℓ2 微分算子的定义出发，将球谐函数表示为 $Y_{l m_l}(x, \varphi) = N_{l m_l}P_{l}^{|m_l|}(x)e^{im_l\varphi}$，可证明特征值方程可简化为关联勒让德函数 $P_{l}^{|m_l|}(x)$ 的 Sturm–Liouville 方程，其中：
- $w(x) = 1$
- $p(x) = 1 - x^2$
- $q(x) = \frac{m_l^2}{1 - x^2}$