19、Lyapunov 函数时间导数推导及分析

Lyapunov 函数时间导数推导及分析

1. 引言

在控制系统的稳定性分析中，Lyapunov 函数起着至关重要的作用。通过对 Lyapunov 函数时间导数的推导和分析，我们可以判断系统的稳定性。本文将详细介绍 Lyapunov 函数时间导数的推导过程以及相关的不等式变换。

2. Lyapunov 函数时间导数的推导

2.1 初始表达式

Lyapunov 函数（34）的时间导数由以下公式给出：
$\dot{V}(t) = \dot{\tilde{x}}(t)^T \mathbf{P} \tilde{x}(t) + \tilde{x}(t)^T \mathbf{P} \dot{\tilde{x}}(t)$

2.2 进一步展开

将 $\dot{\tilde{x}}(t)$ 展开，可得：
$\dot{\tilde{x}}(t) = (\tilde{A} \mu + \tilde{B} \mu \tilde{K}_\mu) \tilde{x}(t) + \tilde{B}_w \tilde{w}(t)$

将其代入上式，得到：
$\dot{V}(t) = \left( (\tilde{A} \mu + \tilde{B} \mu \tilde{K} \mu) \tilde{x}(t) + \tilde{B}_w \tilde{w}(t) \right)^T \mathbf{P} \tilde{x}(t) + \tilde{x}(t)^T \mathbf{P} \left( (\tilde{A} \mu