100、微分约束下的规划与连续时间动态规划

微分约束下的规划与连续时间动态规划

1 系统稳定性分析

1.1 稳定性判断方法

在分析系统稳定性时，对于线性系统，可通过特征值判断。若矩阵(A)的特征值实部非正，且实部为零的特征值是(A)特征多项式的不同根，则系统稳定。而对于非线性系统(f(x))，有时可通过在平衡点(x_G)处线性化(f(x))，再进行线性稳定性分析，但很多情况下该方法并无定论。

证明向量场的稳定性对大多数非线性系统来说是一项具有挑战性的任务。有两种主要方法：
- 基于LaSalle不变性原理 ：该方法在证明系统收敛到多个目标状态之一时特别有用。
- 构造Lyapunov函数 ：这是一种间接建立稳定性的中间工具。若此方法失败，仍有可能通过其他方法证明稳定性，所以它是稳定性的充分条件而非必要条件。

1.2 Lyapunov函数判定稳定性

1.2.1 候选Lyapunov函数

假设给定速度场(\dot{x} = f(x))和平衡点(x_G)，用(\varphi)表示候选Lyapunov函数，用于辅助建立(f)的稳定性。对于特定的向量场(f)，需确定合适的(\varphi)，此过程可描述为“猜测并验证”。若(\varphi)成功建立稳定性，则称其为(f)的Lyapunov函数。

1.2.2 Lie导数

为了刻画(\varphi)在(f)诱导的流方向上的变化，使用Lie导数：
(\dot{\varphi}(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \varphi}{\par