42、子空间与子流形：流形学习算法解析

子空间与子流形：流形学习算法解析

在数据处理和分析领域，流形学习是一种强大的工具，它能够帮助我们从高维数据中提取出有意义的低维结构。本文将深入探讨几种常见的流形学习算法，包括扩散映射、局部算法以及全局对齐算法，旨在为读者提供这些算法的详细解析和操作步骤。

1. 扩散映射（Diffusion Maps）

扩散映射是一种基于随机游走的流形学习算法，其核心思想是通过保留数据点之间的扩散距离来实现高维数据的低维嵌入。

1.1 扩散距离的定义

矩阵 $P$ 表示在单个时间步内从一个数据点转移到另一个数据点的概率。利用随机游走的前向概率 $p_{ij}$，扩散距离定义为：
[
\varphi(x_i, x_j) = \sqrt{\sum_{k} \frac{(p_{ik} - p_{jk})^2}{\psi_0(x_k)}}
]
其中，$\psi_0(x_i)$ 是一个权重项，用于对图中密度较高的部分赋予更多的权重。

1.2 低维表示的构建

在数据的低维表示 $Y$ 中，扩散映射试图保留扩散距离。通过对随机游走应用谱理论，可以证明保留扩散距离的低维表示 $Y$ 由特征问题 $PY = \lambda Y$ 的 $d$ 个非平凡主特征向量构成。低维数据表示为：
[
Y =
\begin{bmatrix}
y_1 \
y_2 \
\vdots \
y_d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda_1 v_1^T \
\lambda_2