37、核主成分分析及其在面部图像预处理中的应用

核主成分分析及其在面部图像预处理中的应用

1. 核主成分分析（KPCA）原理

核主成分分析（KPCA）是一种非线性的数据描述方法，它在特征空间 (H_{\kappa}) 中执行线性主成分分析（PCA），以学习数据的最大变化。

1.1 基本定义与符号

假设 ({x_1, \cdots, x_N})（(x_i \in X)）是 (N) 个训练样本，定义：
- (\Psi = [x_1, \cdots, x_N])
- (\Psi_{\phi} = [\phi(x_1), \cdots, \phi(x_N)])
- (\mu_{\phi} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \phi(x_i) = \frac{1}{N} \Psi_{\phi} e_N)，其中 (e_N = (1, \cdots, 1)^T \in \mathbb{R}^N)

1.2 特征值问题求解

记 (O_{\phi}^t = \frac{1}{\sqrt{N}} (\phi(x_1) - \mu_{\phi}, \cdots, \phi(x_N) - \mu_{\phi}))，KPCA 就是求解以下特征值函数：
[S_{\phi}^t U_{\phi} = U_{\phi} \Lambda_{\phi}]
其中 (S_{\phi}^t = O_{\phi}^t O_{\phi}^{tT})，(U_{\phi} = (u_{\phi}^1, \cdots, u_{\phi}^q))，(\Lambda_{\phi} = diag(\lambda_{\phi}^1, \cdots, \lambda_{