窄带波束形成

最新推荐文章于 2024-09-17 09:59:00 发布

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#波束形成 #beamforming #阵列信号处理 #波束图 #波束响应 #窄带波束形成 #宽带波束形成

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本文介绍了阵列信号处理中的窄带和宽带波束形成技术，包括基本原理、结构示例、输出信号表达式以及FIR滤波器的应用。特别关注了如何设计波束指向特定方向并抑制干扰，以及MATLAB工具在设计过程中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

阵列信号处理有以下三个研究方向：

检测入射信号是否存在，以及入射信号的数目
检测入射信号的到达方向（DOA)角
增强某个感兴趣方向的信号，抑制其他方向的干扰（beamforming)

波束形成（beamforming）分为窄带波束形成和宽带波束形成。窄带可简单理解为信号只有一个频率，宽带就是信号有无限多个频率。麦克风阵列信号处理就涉及到宽带波束形成。在介绍宽带波束形成之前，我们先介绍窄带波束形成。

窄带波束形成

下图是一个基于线阵的波束形成简单结构，由M个阵元组成的线性阵列，对波场进行空间采样。

输出信号的表达式：

$x_{m}(t)$ 就是第m个阵元采集到的信号， $w_{m}$ 是第m个阵元的权重系数。

对于输入平面波信号是复信号 $e^{jwt}$ （对应的角频率是 $w$ ），DOA角度是 $\theta$ （范围是[ $-\pi/2$ $\pi/2$ ]）。如上图所示， $\theta$ 角是相对于与线性阵列垂直方向定义的。

如果如果第0个阵元采集到的信号是 $x_{0}(t) = e^{jwt}$ ，第 $m$ 个阵元采集到的信号是 $x_{m}(t) = e^{jw(t-\tau_{m})}$ , $m$ = 1, 2, ... , $M-1$ 。 $\tau _{m}$ 是信号从第0个阵元传播到第 $m$ 个阵元所需的延时。

波束形成器的输出为：

$y(t) = e^{jwt}\sum_{m=0}^{M-1}e^{-w\tau _{m}}{w_{m}}^{*}$

$\tau _{0}=0$

波束形成器的响应为：

$P(w, \theta ) = \sum_{m=0}^{M-1}e^{-jw\tau _{m}}w_{m}^{*}=\mathbf{w}^{H}\mathbf{d}(w, \theta )$

向量 $\mathbf{w}$ 是 $M$ 个阵元的复共轭系数

$\mathbf{w}=[w_{0}, w_{1},..., w_{M-1}]^{T}$

$\mathbf{d}(w,\theta ) = [1, e^{-jw\tau _{1}},...,e^{-jw\tau _{M-1}}]^{T}$

$\mathbf{d}(w, \theta )$ 称作阵列响应向量（或者转向向量steering vector，方向向量direction vector）

避免时域混叠要求信号的最高频率小于1/2的采样率。避免空域混叠要求阵列之间的距离 $d$ 小于 $\lambda /2$

$w = 2\pi c /\lambda$

$\tau _{m} = d*sin(\theta )/c$

当 $d=\lambda /2$ 时，等间隔线性阵列窄带波束形成器的响应为：

$P(w, \theta ) = \sum_{m=0}^{M-1}e^{-jm\pi sin(\theta )}w_{m}^{*}$

对于与上式相同系数的FIR滤波器，其频率响应为：

$P(\Omega ) = \sum_{m=0}^{M-1}e^{-jm\Omega }w_{m}^{*}$

$\Omega \in [-\pi , \pi ]$ 是归一化频率， $\theta$ 从 $-\pi/2$ 变化到 $\pi/2$ 时， $\pi sin \theta$ 从 $-\pi$ 变化到 $\pi$ 。

窄带波束形成的实例

设计波束形成器，将波束指向 $\theta \in [-\pi/6, \pi/6](-30^{\circ }, 30^{\circ })$ ，并且抑制 $\theta \in [-\pi/2, -\pi/4]$

以及 $\theta \in [\pi/4, \pi/2]$ 方向的信号。线性阵列间距 $d=\lambda /2$ ，其中 $\lambda$ 为入射信号的波长。阵元数目 $M=10$

等效FIR设计：

通带： $\Omega \in [-0.5\pi, 0.5\pi]$ ，其中 $sin \pi/6 = 0.5$

阻带: $\Omega \in [-\pi, -0.71\pi] and [0.71\pi, \pi]$ 其中 $sin \pi/4 = 0.71$

使用MATLAB的remez函数设计的FIR系数（也即是 $M$ 个阵元的复共轭系数）为：

$\left | P(\theta ,w) \right |$ 是波束形成器的波束图，一般进行取对数，波束图如下图所示。

以上的实例是基于阵列的间距等于半波长这个假设，更一般的情况下，令

$d = \alpha \lambda /2$ ， $\alpha \leqslant 1$

波束响应可写为

参考：Wei Liu《Wideband Beamforming》University of Sheffifield, UK

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