数学学习笔记(三）重新理解格林公式

以前从未深入想过格林公式的含义，只是隐约知道二维的面积积分和一维的曲线积分有什么关联，书上也讲得很含糊，不肯道明。今天我对着这个公式看了半个多小时，领悟了新的旋转内涵。

把PQ看着一个向量场<P,Q>, 那么公式左边就是旋度，用旋度对面积微元进行积分，好像也是个和旋转程度相关东西。那么公式的右边是什么玩意儿，想了很久，右边可以看作向量场和路径向量的内积( <P,Q > , <dx, dy>)， 一下子就明了了。左边是向量场在一块面积上的旋转程度，右边是向量场在这块面积边缘一圈的旋转程度。这两个等价。意思就是，面积中所有的旋转都能在它的边缘体现出来。

画成图表示就是

四个小正方形的旋转，叠加起来，就是外面的大旋转，小正方形共边的地方旋转两两抵消

我想了一下这个旋转的含义，这是以前看教科书上的标准证明没有表达过的。自喜之余，我用“格林公式 旋转”网上一搜，果不其然，结果很多。很奇怪当年数学老师都没有在课上点出这样的思想

有类似思想的还有高斯公式