聚类算法

本文是周志华《机器学习》第九章的学习笔记。

“无监督学习”通过对无标记训练样本的学习来揭示数据的内在性质及规律。通常，“无监督学习”包含的任务类型有“聚类”、“密度估计”、“异常检测”等，下述将主要对“聚类”进行讨论。

（1）“聚类”任务可以作为一个单独过程，也可以作为分类等其他学习任务的前去过程，即根据聚类结果将每个“簇”定义为一个“类”，然后基于这些类训练分类模型。（2）“聚类”任务中使用的样本可以带有标签，也可以不带标签。对无标签样本进行聚类，其数学语言描述如下：假定样本集$D=\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$包含$m$个无标记样本，每个样本$\boldsymbol{x}_i=(x_{i1};x_{i2};\cdots;x_{in})$是一个$n$维特征向量，则聚类算法将样本集$D$划分成$k$个互斥且完备的簇$\{C_l|l=1,2,\cdots,k\}$，即$C_{l^{'}}\bigcap_{l^{'}\neq l}C_{l}=\varnothing$，且$D=\bigcup_{l=1}^{k}C_{l}$。用$\lambda_{j}\in\{1,2,\cdots,k\}$表示样本$\boldsymbol{x}_{j}$的“簇标记”，即$\boldsymbol{x}_{j}\in C_{\lambda_{j}}$。则样本集$D$对应的聚类结果可表示为$\boldsymbol{\lambda}=(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{m})$。

性能度量

聚类算法的预期目标是“簇内相似度”高，“簇间相似度”低。通过“性能度量”评估聚类结果好坏，将“性能度量”作为“聚类过程优化的目标”。聚类性能度量主要有两大类：（1）外部指标：将聚类结果与某个“参考模型”进行比较；（2）内部指标：直接参考聚类结果而不利用

外部指标：

对数据集$D=\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$的簇划分$\mathcal{C}=\{C_1,C_2,\cdots,C_k\}$参考模型给出的簇划分$\mathcal{C^*}=\{C^*_1,C^*_2,\cdots,C^*_k\}$，且$\boldsymbol{\lambda}$表示$\mathcal{C}$对应的簇标记向量、$\boldsymbol{\lambda^*}$表示$\mathcal{C^*}$对应的簇标记向量，则可定义

$$\begin{matrix} a=|SS|，SS=\{(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)|\lambda_i=\lambda_j,\lambda^*_i=\lambda^*_j,i<j\}\\ b=|SD|，SD=\{(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)|\lambda_i=\lambda_j,\lambda^*_i\neq\lambda^*_j,i<j\}\\ c=|DS|，DS=\{(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)|\lambda_i\neq\lambda_j,\lambda^*_i=\lambda^*_j,i<j\}\\ d=|DD|，DD=\{(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)|\lambda_i\neq\lambda_j,\lambda^*_i\neq\lambda^*_j,i<j\}\\ \end{matrix}$$

• Jaccard系数：$\displaystyle JC=\frac{a}{a+b+c}$
• FM指数：$\displaystyle FMI=\sqrt{\frac{a}{a+b}\cdot\frac{a}{a+c}}$
• Rand指数：$\displaystyle RI=\frac{2(a+d)}{m(m-1)}$

其中，$JC,FMI,RI\in[0,1]$，且值越大代表聚类效果越好。

内部指标：

根据对数据集$D=\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$的簇划分$\mathcal{C}=\{C_1,C_2,\cdots,C_k\}$，定义

$$\begin{matrix} 簇C内样本间平均距离：\displaystyle avg(C)=\frac{2}{|C|(|C|-1)}\sum_{1\leq i<j\leq|C|}dist(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j) \\ 簇C内样本间最远距离：\displaystyle diam(C)=\max_{1\leq i<j\leq|C|}dist(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)\\ 簇C_i和C_j最近样本间的距离：\displaystyle d_{min}(C_i,C_j)=\min_{\boldsymbol{x}_i\in C_i,\boldsymbol{x}_j\in C_j}dist(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)\\ 簇C_i和C_j中心点间的距离：\displaystyle d_{cen}(C_i,C_j)=dist(\boldsymbol{\mu}_i,\boldsymbol{\mu}_j)\\ \end{matrix}$$
上式中$dist(\cdot,\cdot)$计算两样本间的距离，$\boldsymbol{\mu}$代表簇$C$的中心点$\displaystyle\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{|C|}\sum_{1\leq i\leq|C|}\boldsymbol{x}_i$。

• DB指数：$\displaystyle DBI=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\max\limits_{j\neq i}\Big(\frac{avg(C_i)+avg(C_j)}{d_{cen}(\boldsymbol{\mu}_i,\boldsymbol{\mu}_j)}\Big)$
• Dunn指数：$\displaystyle DI=\min\limits_{1\leq i\leq k}\Big\{\min\limits_{j\neq i}\Big(\frac{d_{min}(C_i,C_j)}{\max_{1\leq l\leq k}diam(C_l)}\Big)\Big\}$

距离计算

满足非负性、对称性、传递性的基本度量距离，即L1,L2,Lp范数：

$$\begin{matrix} dist_{man}(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)=||\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j||_1=\sum\limits_{u=1}^{n}|x_{iu}-x_{ju}|\\ dist_{ed}(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)=||\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j||_2=\sqrt{\sum\limits_{u=1}^{n}|x_{iu}-x_{ju}|^{2}}\\ dist_{mk}(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)=\Big(\sum\limits_{u=1}^{n}|x_{iu}-x_{ju}|^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}\\ \end{matrix}$$

“连续属性”：在定义域上有无穷多个可能的取值
“离散属性”：在定义域上是有限个取值
“有序属性”：在该属性上定义了“序”关系，如$\{1,2,3\}$里“$1$”与“$2$”比较接近，与“$3$”相距较远。
“无序属性”：如$\{飞机,汽车,轮船\}$这样的离散属性即为无序属性。
可以直接在有序属性上计算距离，但不能直接在无序属性上计算距离。
（1）无序属性可利用VDM距离度量：

• $\displaystyle VDM_p(a,b)=\sum\limits_{i=1}^{k}\Big|\frac{m_{u,a,i}}{m_{u,a}}-\frac{m_{u,b,i}}{m_{u,b}}\Big|^p$

上式中$m_{u,a}$表示在属性$u$上取值为$a$的样本数，$m_{u,a,i}$表示在第$i$个簇中在属性$u$上取值为$a$的样本数，$k$为簇数。

（2）混合属性(样本向量不同维度，既包含有序属性又包含无序属性)可将Minkowski(Lp范数)距离和VDM结合：

• $\displaystyle MinkovDM_{p}(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)=\Big(\sum\limits_{u=1}^{n_c}|x_{iu}-x_{ju}|^p+\sum\limits_{u=n_c+1}^{n}VDM_{p}(x_{iu},y_{ju})\Big)^\frac{1}{p}$

原型指样本空间里“具有代表性的点”，可通过一组原型刻画聚类结构。基于原型的聚类算法——对原型初始化，对原型迭代更新。

原型聚类——K-means

“K均值”算法对样本集$D=\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$聚类，得到的簇划分$\mathcal{C}=\{C_1,C_2,\cdots,C_k\}$对应的最小化平方误差：

$$\displaystyle E=\sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{\boldsymbol{x}\in C_i}||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_i||^2_2，其中\boldsymbol{\mu}_i=\frac{1}{C_i}\sum\limits_{\boldsymbol{x}\in C_i}\boldsymbol{x}是簇C_i的均值向量$$
$E$刻画了簇内样本围绕簇均值向量的紧密程度，$E$值越小表示簇内样本相似度越高。要想求$E$的最优解，需要遍历考查样本集$D$所有可能的簇划分，是NP难问题；实际操作中，常采用贪心策略，通过迭代优化近似求解。

• 输入：样本集$D=\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$；聚类簇数$k$.
• 算法流程：
• （1）从$D$里随机选$k$个样本作为初始均值向量$\{\boldsymbol{\mu}_1,\boldsymbol{\mu}_2,\cdots,\boldsymbol{\mu}_k\}$.
• （2）通过循环逐个生成簇，目标是生成$k$个聚类簇：
  
  • 对$D$里每个样本$\boldsymbol{x}_i$：
  • a.）计算该样本与各均值向量$\boldsymbol{\mu}_i$的距离：$d_{ji}=||\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{\mu}_i||_2$，
  • b.）对应可得样本$\boldsymbol{\mu}_i$所归属的簇标记$\lambda_j=argmin_{i\in\{1,2,\cdots,k\}}d_{ji}$，
  • c.）把样本$\boldsymbol{x}_i$加入簇$C_{\lambda_{j}}=C_{\lambda_{j}}\bigcup{\boldsymbol{x}_j}$.
  • 更新各个聚类簇的均值向量$\displaystyle\boldsymbol{\mu}^{'}_i=\frac{1}{|C_i|}\sum_{\boldsymbol{x}\in C_i}\boldsymbol{x}$ ，
  • 判断$\boldsymbol{\mu}^{'}_i$与$\boldsymbol{\mu}_i$是否相等，相等则该聚类簇中心不变，不相等则更新为$\boldsymbol{\mu}^{'}_i$.
  • （3）重复以上过程（2），直到达到最大迭代次数限制；或对所有$i$满足$|\boldsymbol{\mu}^{'}_i-\boldsymbol{\mu}_i|\leq \epsilon（\epsilon是任意正数）$时，停止迭代.

  原型聚类——学习向量量化LVQ

  LVQ算法里假设数据样本带有“类别标签”，簇划分过程需要记住“类别标签”辅助学习。即，对于给定的样本集$D=\{(\boldsymbol{x}_1,y_1),(\boldsymbol{x}_2,y_2),\cdots,(\boldsymbol{x}_m,y_m)\}$，$n$维属性$\boldsymbol{x}_j=(x_{j1},x_{j2},\cdots,x_{jn})$，样本$\boldsymbol{x}_j$的类标记$y_j\in\mathcal{Y}$。
  LVQ的目标是学习到一组“代表各个聚类簇”的$n$维原型向量$\{\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_q\}$，即原型向量和样本的属性具有相同的维度。由此，LVQ初始化第$q$个簇的原型向量的一种方法：从类别标记为$t_q$的样本里，随机选取一个“样本属性向量”作为“初始原型向量”。

  • 输入：样本集$D=\{(\boldsymbol{x}_1,y_1),(\boldsymbol{x}_2,y_2),\cdots,(\boldsymbol{x}_m,y_m)\}$；原型向量个数$q$；各原型向量初始类别标记$\{t_1,t_2,\cdots,t_q\}$；学习率$\eta\in(0,1)$.
  • 算法流程：
  • （1）从类别标记为$t_i(i=1,2,\cdots,q)$的样本里，随机选取一个“样本属性向量”作为初始原型向量$\boldsymbol{p}_i(i=1,2,\cdots,q)$；得初始化原型向量组$\{\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_q\}$.
  • （2）遍历更新每个原型向量：
    
    • 随机选取$D$内的一个样本$(\boldsymbol{x}_j,y_j)$：
    • a.）计算该样本与各个原型向量$\boldsymbol{p}_i(i=1,2,\cdots,q)$的距离：$d_{ji}=||\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{p}_i||_2$，
    • b.）找出与$\boldsymbol{x}_j$距离最近的原型向量$\boldsymbol{p}^*_i$，$i^*=argmin_{i\in\{1,2,\cdots,q\}}d_{ji}$，
    • c.）更新原型向量：如$y_j=t^*_i$，则$\boldsymbol{p}^{'}=\boldsymbol{p}^*_i+\eta\cdot(\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{p}^*_i)$(原型向量靠近$x_j$)；否则，$\boldsymbol{p}^{'}=\boldsymbol{p}^*_i-\eta\cdot(\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{p}^*_i)$(原型向量远离$x_j$).
  • （3）重复以上过程（2），直到达到最大迭代次数限制；或“原型向量”更新很小甚至不更新时，停止迭代.
    

  原型聚类——高斯混合聚类

  高斯混合聚类采用“概率模型”来表达聚类原型，定义高斯混合分布
  

  $$p_\mathcal{M}(\boldsymbol{x})=\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i\cdot p(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu}_i,\boldsymbol{\Sigma}_i)=\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i\cdot \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}|\boldsymbol{\Sigma}_i|^{\frac{1}{2}}}e^{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_i)^{T}\boldsymbol{\Sigma}_i^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_i)}$$
  上式，$\boldsymbol{\mu}_i$是第$i$个高斯混合成分的$n$维均值矩阵；$\boldsymbol{\Sigma}_i$是第$i$个高斯混合成分的$n\times n$维协方差矩阵；$\alpha_i>0$是第$i$个高斯混合成分的“混合系数”，且$\sum\limits_{i=1}^k\alpha_i=1$。

  样本生成过程：根据“混合系数”定义的先验分布，选择该样本所属的高斯混合成分(其中$\alpha_i$是选择第$i$个高斯混合成分的概率)，根据被选择的高斯混合成分的“概率密度函数”进行“采样”，从而生成相应的样本。

  定义随机变量$z_j\in\{1,2,\cdots,k\}$表示生成样本$\boldsymbol{x}_j$的高斯混合成分，则$z_j$的先验概率$P(z_j=i)=\alpha_i$，由贝叶斯公式$z_j$的后验分布
  

  $$p_\mathcal{M}(z_j=i|\boldsymbol{x}_j)=\frac{P(z_j=i)\cdot p_\mathcal{M}(\boldsymbol{x}_j|z_j=i)}{p_\mathcal{M}(\boldsymbol{x}_j)}=\frac{\alpha_i\cdot p(\boldsymbol{x}_j|\boldsymbol{\mu}_i,\boldsymbol{\Sigma}_i)}{\sum\limits_{l=1}^k \alpha_l\cdot p(\boldsymbol{x}_j|\boldsymbol{\mu}_l,\boldsymbol{\Sigma}_l)}\triangleq\gamma_{ji}$$
  （1）若模型参数已知，即模型确定时，将样本集$D$划分为$k$个簇$\mathcal{C}=\{C_1,C_2,\cdots,C_k\}$的方法：每个样本$\boldsymbol{x}_j$的簇标记$\lambda_j=\underset{i\in\{1,2,\cdots,k\}}{arg\max} \gamma_{ji}$。
  （2）模型参数$\{(\alpha_i,\boldsymbol{\mu}_i,\boldsymbol{\Sigma}_i)|1\leq i\leq k\}$利用“极大似然估计求导和EM算法迭代”学习：
  $$LL(D)=ln\Big(\prod\limits_{j=1}^m p_\mathcal{M}(\boldsymbol{x}_j)\Big)=ln\Big(\prod\limits_{j=1}^m\big(\sum\limits_{i=1}^k P(z_j=i)\cdot p_\mathcal{M}(\boldsymbol{x}_j|z_j=i)\big)\Big)\\ =ln\Big(\prod\limits_{j=1}^m\big(\sum\limits_{i=1}^k \alpha_i\cdot p(\boldsymbol{x}_j|\boldsymbol{\mu}_i,\boldsymbol{\Sigma}_i)\big)\Big)=\sum\limits_{j=1}^m ln\Big(\sum\limits_{i=1}^k \alpha_i\cdot p(\boldsymbol{x}_j|\boldsymbol{\mu}_i,\boldsymbol{\Sigma}_i)\Big)$$
  由$\displaystyle\frac{\partial LL(D)}{\partial\boldsymbol{\mu}_i}=0$可求得$\displaystyle\boldsymbol{\mu}_i=\frac{\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}\boldsymbol{x}_j}{\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}}$；由$\displaystyle\frac{\partial LL(D)}{\partial\boldsymbol{\Sigma}_i}=0$可求得$\displaystyle\boldsymbol{\Sigma}_i=\frac{\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}(\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{\mu}_i)(\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{\mu}_i)^T}{\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}}$；将约束$\alpha_i>0,\sum\limits_{i=1}^k\alpha_i=1$转化成Lagrange乘子后求导，即$\displaystyle\frac{\partial\Big(LL(D)+\lambda(\sum\limits_{i=1}^k\alpha_i-1)\Big)}{\partial\alpha_i}=0$，可求得$\displaystyle\alpha_i=\frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}$。
  • 输入：样本集$D=\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$；高斯混合成分个数$k$.
  • 算法流程：
  • （1）初始化高斯混合分布的模型参数$\{(\alpha_i,\boldsymbol{\mu}_i,\boldsymbol{\Sigma}_i)|1\leq i\leq k\}$.
  • （2）遍历更新每个样本：
    
    • 根据贝叶斯公式，计算每个样本$\boldsymbol{x}_j$由各高斯混合成分生成的后验概率$\gamma_{ji}=p_\mathcal{M}(z_j=i|\boldsymbol{x}_j)，(1\leq i\leq k)$.
  • （3）更新每个高斯混合成分的参数：
    
    • a.）计算新均值向量$\displaystyle\boldsymbol{\mu^{'}}_i=\frac{\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}\boldsymbol{x}_j}{\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}}$，
    • b.）计算新协方差矩阵$\displaystyle\boldsymbol{\Sigma^{'}}_i=\frac{\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}(\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{\mu}_i)(\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{\mu}_i)^T}{\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}}$,
    • c.）计算新混合系数$\displaystyle\alpha^{'}_i=\frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^m \gamma_{ji}$.
  • （4）根据后验概率$\gamma_{ji}$，对每个样本确定簇标记$\lambda_j=\underset{i\in\{1,2,\cdots,k\}}{arg\max} \gamma_{ji}$，则第$C_{\lambda_j}$个簇更新为$C_{\lambda_j}=C_{\lambda_j}\bigcup\{\boldsymbol{x}_j\}$.

  密度聚类

  此类方法通过“样本分布的紧密程度”确定聚类结构。即，从样本密度角度考察样本之间的可连接性，并基于可连接样本不断扩展聚类簇，以获得最终的聚类结果。

  密度聚类算法DBSCAN

  该算法是对给定的数据集$D=\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$，基于一组“邻域”参数$(\epsilon,MinPts)$，刻画样本分布的紧密程度。首先，给出如下定义：
  （1）$\epsilon-$邻域：$\boldsymbol{x}_j\in D$的$\epsilon-$邻域指该邻范围内包含的所有其余样本点集合，$N_{\epsilon}(\boldsymbol{x}_j)=\{\boldsymbol{x}_i\in D|dist(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j)\leq\epsilon\}$.
  （2）核心对象：某样本$\boldsymbol{x}_j$是核心样本，指其$\epsilon-$邻域内至少包含$MinPts$个样本点，即$|N_{\epsilon}(\boldsymbol{x}_j)|\geq MinPts$.
  （3）密度直达：$\boldsymbol{x}_j$是核心对象$\boldsymbol{x}_i$的$\epsilon-$邻域内的点，称$\boldsymbol{x}_j$由$\boldsymbol{x}_i$密度直达.
  （4）密度可达：若有样本序列$\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_n=\boldsymbol{x}_j$，且后一样本点$\boldsymbol{p}_{i+1}$由前一样本点$\boldsymbol{p}_i$密度直达，则$\boldsymbol{x}_j$由$\boldsymbol{x}_i$密度可达.
  （5）密度相连：若样本点$\boldsymbol{x}_i$和$\boldsymbol{x}_j$均由$\boldsymbol{x}_k$密度可达，则$\boldsymbol{x}_i$和$\boldsymbol{x}_j$密度相连.
  
  DBSCAN算法的“簇”是由密度可达导出的“最大”密度相连的“样本的集合”。若$\boldsymbol{x}$为核心对象，由$\boldsymbol{x}$密度可达的所有样本组合的集合，即形成一个聚类簇。最后，簇划分确定后，数据集$D$中不属于任何簇的样本，通常看作“噪声”或“异常样本”。

  • 输入：样本集$D=\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$；邻域参数$(\epsilon,MinPts)$.
    • 算法流程：
    • （1）初始化核心对象集合$\Omega=\varnothing$.
    • （2）遍历每个样本，确定该样本是否是核心对象：
      
      • 对于样本$\boldsymbol{x}_j$，若$|N_{\epsilon}(\boldsymbol{x}_j)|\geq MinPts$，则该样本是核心对象，更新$\Omega=\Omega\bigcup\{\boldsymbol{x}_j\}$.
    • （3）根据核心对象的密度可达关系，确定每一个聚类簇：
      
      • a.）随机选取一个核心对象初始化队列$Q$，初始化未访问样本集$\Gamma=D$，
      • b.）取$Q$的首个元素，考查其$\epsilon$邻域内的样本点是否已被划分到某个簇：若未被划分到某个簇，则加入当前簇；若已被划分到某个簇，则continue，
      • c.）考查该邻域内的样本点是否是核心对象：如果是，则进一步根据密度可达关系扩张，获得外围样本点，回到b.）进一步考察；如果不是，则停止.

    层次聚类

    层次聚类是在“不同层次”对数据集进行划分，形成“树形的聚类结构”。数据集的划分方式：（1）“自底向上”聚合（2）“自顶向下”分拆。

    AGNES自底向上聚合的层次聚类算法

    该算法初始将每个样本看成一个聚类簇，每一步对“距离最近的两个聚类簇”合并，重复以上过程直到达到预设的聚类簇个数。
    计算聚类簇间距离的不同定义：
    

    $$\begin{matrix} 最小距离：\displaystyle d_{\min}(C_i,C_j)=\min\limits_{\boldsymbol{x}\in C_{i},\boldsymbol{z}\in C_{j}}dist(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}) \\ 最大距离：\displaystyle d_{\max}(C_i,C_j)=\max\limits_{\boldsymbol{x}\in C_{i},\boldsymbol{z}\in C_{j}}dist(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}) \\ 平均距离：\displaystyle d_{avg}(C_i,C_j)=\frac{1}{|C_i||C_j|}\sum\limits_{\boldsymbol{x}\in C_{i}}\sum\limits_{\boldsymbol{z}\in C_{j}}dist(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z})\\ \end{matrix}$$
    • 输入：样本集$D=\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}$；聚类簇聚类度量函数$d$；聚类簇数$k$.
    • 算法流程：
    • （1）初始化，每个样本作为一个聚类簇$C_j=\{\boldsymbol{x}_j\}，j=1,2,\cdots,m$.
    • （2）遍历每个样本，计算距离矩阵：
      
      • 对于任意两个样本，计算距离，得距离矩阵$M(i,j)=d(C_i,C_j)，M(i,j)=M(j,i)，j>i$.
    • （3）若聚类簇个数大于预计聚类簇数，则合并距离最近的两个聚类簇，更新距离矩阵：
      
      • a.）找到距离最近的两个聚类簇$C_{i^*}$和$C_{j^*}$，合并得$C_{i^*}=C_{i^*}\bigcup C_{j^*}$，
      • b.）对编号在$j^*$后的聚类簇重新编号，即编号往前减1，
      • c.）删除距离矩阵的第$j^*$行和第$j^*$列，对新划分的聚类簇计算距离矩阵.
    • （4）重复以上过程（3），直到聚类簇聚合到预期聚类簇数，停止迭代.