逻辑回归原理总结

逻辑回归原理总结

概述

• 什么是逻辑回归？–从二分类开始说起
• 二元逻辑回归模型的拟合
• 多分类逻辑回归

1. 什么是逻辑回归？–从二分类开始说起

回顾线性回归$y=x^T\beta$，我们知道响应变量$y$一般是连续的，但在分类问题中，比如常见的二分类中$y=0$或$y=1$是非连续的。为了依旧能够利用输入特征$x$的线性函数来建立分类的后验概率$P(y=0)$和$P(y=1)$，可以对线性回归$x^T\beta$（$x$的线性函数）进行如下变换
Sigmoid:  g(x)=11+exp⁡{−xTβ} Sigmoid:~~g(x)=\frac{1}{1+\exp\{-x^T\beta\}} Sigmoid:  g(x)=1+exp{−xTβ}1​
可以发现，此时$g(x)\in [0,1]$。通常取临界值0.5，当$g(x)>0.5$，即$x^T\beta >0$时，$y=1$；当$g(x)<0.5$，即$x^T\beta <0$时，$y=0$；当$g(x)=0.5$，此时逻辑回归无法确定分类。也就是说，当$x^T\beta$越大，分为1的概率越大；当$x^T\beta$越小，分为0的概率越大；当$x^T\beta$越接近0，分类的不确定性越大。

逻辑回归实质上是一种“概率预测”方法，它的输出不是分类变量，而是样本属于某类的概率大小。

2. 二元逻辑回归模型的拟合

由于二分类问题的响应变量非连续，所以最小二乘方法中的误差平方和损失在这不适用，我们可以采用最大似然进行拟合。假设二分类响应变量为$y=0$和$y=1$，且
P(y=1∣x,β)=11+exp⁡{−xTβ} P(y=1|x,\beta)=\frac{1}{1+\exp\{-x^T\beta\}} P(y=1∣x,β)=1+exp{−xTβ}1​

P(y=0∣x,β)=1−P(y=1∣x,β)=exp⁡{−xTβ}1+exp⁡{−xTβ} P(y=0|x,\beta)=1-P(y=1|x,\beta)=\frac{\exp\{-x^T\beta\}}{1+\exp\{-x^T\beta\}} P(y=0∣x,β)=1−P(y=1∣x,β)=1+exp{−xTβ}exp{−xTβ}​

合并上述两式
$$P(y|x,\beta )=P(y=1|x,\beta {)}^y[1-P(y=1|x,\beta ){]}^{1-y},y=0,1$$
对应的$N$样本对数似然为
l(β)=∑i=1Nlog⁡[P(yi∣xi,β)]=∑i=1N{yilog⁡[P(y=1∣xi,β)]+(1−yi)log⁡[1−P(y=1∣xi,β)]} l(\beta)=\sum_{i=1}^{N}\log[P(y_i|x_i,\beta)]=\sum_{i=1}^{N}\{y_i\log[P(y=1|x_i,\beta)]+(1-y_i)\log[1-P(y=1|x_i,\beta)]\} l(β)=i=1∑N​log[P(yi​∣xi​,β)]=i=1∑N​{yi​log[P(y=1∣xi​,β)]+(1−yi​)log[1−P(y=1∣xi​,β)]}
即
$$l(\beta )=-\sum _{i=1}^N[(1-y_i)x_i^T\beta +\log (1+\exp (-x_i^T\beta ))]$$
下面介绍两种求解上述最优化问题方法：梯度上升发、改进的随机梯度上升法

• 采用梯度上升法求解最优参数，先对上式求导

$$\frac{\partial l(\beta )}{\partial \beta }=\sum _{i=1}^N(y_i-\frac{1}{1+\exp (-x_i^T\beta )})x_i=X^T(Y-g(X))$$
梯度上升法中每一步向量$\beta$的迭代公式如下，其中$\alpha$为迭代步长，
$$\beta =\beta +\alpha X^T(Y-g(X))$$

• 改进的随机梯度上升法shizi：一次仅用一个严样本点来更新回归系数

  因为，从 $(8)$ 式可以看出，梯度上升法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集，当样本集 $X$ 超大时该方法的计算复杂度就非常高。

3.多分类逻辑回归

构建逻辑回归模型意在利用输入特征$X$的线性函数来建立分类（$G=1,\cdots ,K$）的后验概率，并要求所有类别的后验概率之和为1且都在$[0,1]$内。该模型的形式为（称之为Logit变换或log-odds），总共$K-1$个方程，
$$\log \frac{P(G=1|X=x)}{P(G=K|X=x)}=x^T{\beta }_1$$

$$\log \frac{P(G=2|X=x)}{P(G=K|X=x)}=x^T{\beta }_2$$

$$⋮$$

$$\log \frac{P(G=K-1|X=x)}{P(G=K|X=x)}=x^T{\beta }_{K-1}$$

整个模型的参数为$\theta =({\beta }_1^T,\cdots ,{\beta }_{K-1}^T)$。根据${\sum }_{k=1}^{K}P(G=k|X=x)=1$可以计算出
P(G=K∣X=x)=11+∑k=1K−1exp⁡{xTβk} P(G=K|X=x)=\frac{1}{1+\sum_{k=1}^{K-1}\exp\{x^{T}\beta_{k}\}} P(G=K∣X=x)=1+∑k=1K−1​exp{xTβk​}1​
P(G=k∣X=x)=exp⁡{xTβk}1+∑k=1K−1exp⁡{xTβk},  k=1,⋯ ,K−1. P(G=k|X=x)=\frac{\exp\{x^{T}\beta_{k}\}}{1+\sum_{k=1}^{K-1}\exp\{x^{T}\beta_{k}\}},~~k=1,\cdots,K-1. P(G=k∣X=x)=1+∑k=1K−1​exp{xTβk​}exp{xTβk​}​,  k=1,⋯,K−1.