cxw的博客

我们首先研究关节坐标的微小变化如何影响末端执行器的位姿。使用齐次坐标变换表示位姿，我们可以通过一个一阶微分近似得到位姿相对于关节坐标的导数：dTdq≈T(q+δq)−T(q)δq\dfrac{\text{d}T}{\text{d}q}\approx\dfrac{T(q+\delta_q)-T(q)}{\delta_q}dqdT​≈δq​T(q+δq​)−T(q)​根据 TTT 的定义，可以得...

我们的目标是让机器人绘制字母“B”。机器人工具箱自带了一种 hershey 字体>> load hershey>> B = hershey{'B'};我们可以查看B里面是啥>> B.strokeans = 列 1 至 9 0.1600 0.1600 NaN 0.1600 0.5200 0.6400 ...

关节角偏移机器人的零关节角位姿往往是某个很不寻常的（甚至是机械无法实现的）位姿。对于 Puma 机器人，其零角度位姿就呈现出一种不是很明显的 L 形状，机器人的上臂水平，下臂垂直向上，如图所示。这一结果是由机器人的 D-H 参数形式所决定的。机器人的控制设计人员可能会选择零关节角位姿为一些更为明显的位形。关节坐标偏移提供了一种机制，它使我们可以设置任意位形作为零关节坐标。偏移向量 q0q_0...

机器人学中最常见的要求之一，是把机器人末端执行器平滑地从位姿 AAA 移动至位姿 BBB。基于之前讨论过的轨迹的内容，我们将讨论两种方法来产生轨迹：在关节空间中的直线和在笛卡儿空间中的直线。这两种直线分别被称为关节空间运动和笛卡儿空间运动。关节空间运动我们考虑末端执行器在两个笛卡儿位姿之间移动：>> T1 = transl(0.4, 0.2, 0) * trotx(pi);&g...

上一节已经展示了机械臂的正运动学求解方法，即在给定关节坐标以及可选工具和基座变换的条件下，如何确定末端执行器的位姿。实际应用中的另一个问题是运动学的逆问题：给定期望的末端执行器位姿 ξE\xi_EξE​，如何求取所需的关节坐标？例如，如果我们知道一个物体的笛卡儿坐标位姿，那么机器人需要什么样的关节坐标才能接近这个物体？这就是逆运动学问题，写成函数形式如下：q=K−1(ξ)q=\mathcal...

机械臂的正运动学通常表述为如下的函数形式：ξE=K(q)\xi_E=\mathcal{K}(q)ξE​=K(q)它表明末端执行器的位姿是基于关节坐标的一个函数。若使用齐次变换，其表达式将是由之前推导的连杆坐标系变换矩阵方程所给的单个连杆变换矩阵 j−1Aj^{j-1}A_jj−1Aj​ 的简单乘积。对于一个 NNN 轴机械臂，有ξE∼0TE=0A11A2⋯N−1AN\xi_E\sim{}...

运动学是力学的一个分支，它在不考虑质量和作用力的前提下研究一个刚体，或者由多个刚体组成系统的运动。一个串联机械臂是由多个连杆和运动副组成的运动链。通过运动副的连接，一个连杆能相对于另一个连杆做相对运动。运动链的一端，即机械手的基座，通常上是固定不动的，而运动链另一端上一般有夹持工具或者末端执行器，可以在空间中自由运动。一个串联机械臂的整个链路是由一组被称为连杆的刚体组成的，这些连杆由关节（运动副...

我们已经讨论了如何产生坐标系的运动，其中包含平移和旋转两部分。平移速度代表了坐标系原点位置的变化率，而旋转速度则要更复杂一些。旋转坐标系物体在三维空间中旋转时有一个角速度向量ω=(ωx,ωy,ωz)\omega=(\omega_x, \omega_y, \omega_z)ω=(ωx​,ωy​,ωz​)。这个向量的方向定义了瞬时转动轴，即在某个特定时间点坐标系旋转所绕的轴。通常情况下，这个轴是随...

之前我们提到mstraj函数并不是不是对坐标系旋转进行插值的理想方式。在机器人学中，我们经常需要对姿态进行插值。例如，我们需要机器人的末端执行器平滑地从姿态 ξ0\xi_0ξ0​ 和改变到 ξ1\xi_1ξ1​。假设某个函数 ξ(s)=σ(ξ0,ξ1,s)\xi(s)=\sigma(\xi_0, \xi_1, s)ξ(s)=σ(ξ0​,ξ1​,s)，其中 s∈[0,1]s\in[0,1]s∈[0...

机器人应用中经常要求机器人平滑地沿一条路径运动，并不停顿地经过一个或多个中间节点。这样做或许是要在工作空间中避开障碍物，也可能是为了执行一项需要高精度连续轨迹的任务，如在制造业中要涂抹一圈密封胶。为了使问题一般化，考虑该轨迹含有 NNN 个中间点 xkx_kxk​，k∈[1,N]k\in [1, N]k∈[1,N]，因此有 N−1N-1N−1 个运动段。由上节可知，x∈R"x∈R"x∈R" 是位...

一条路径只是一个空间结构——空间中从初始位姿过渡到最终位姿的一个图形。而轨迹是具有特定时间属性的一条路径。例如，从 AAA 到 BBB 是路径，但如果规定了 101010 秒的时间或 2m⋅s−12 m\cdot s^{-1}2m⋅s−1 的速度，则变成从 AAA 到 BBB 的轨迹。轨迹的一个重要特征是要平滑——位置和姿态随时间流畅地变化。平滑一维轨迹我们从时间的标量函数开始讨论。这种函数的...

点由坐标系的坐标向量表示。一个刚体上的一组点可以用一个坐标系描述，而且其组成点可由相对于刚体坐标系的位移表示。任何坐标系相对于另一个坐标系的位置和方向，可用相对位姿 ξ\xiξ 表示。相对位姿可以按顺序组合(合成或复合)，并且我们还演示了相对位姿如何进行代数运算的操作方法。一个重要的代数运算法则是运算变量不可交换——相对位姿组合的顺序不可交换。我们已经在二维和三维的情况下探讨过用正交旋转矩阵表示...

前面曾经讨论了几种不同的旋转姿态表示法，我们需要将它们与平移变换相结合，创造出一个完整的相对位姿表示方法。两种最实用的表示方法是：四元数向量对和 4×44\times44×4 齐次变换矩阵。对于向量-四元数的情况，有 ξ∼(t,q˚)\xi\sim(t, \mathring{q})ξ∼(t,q˚​)，其中 t∈R3t\in\mathbb{R}^3t∈R3 是坐标系原点相对于参考坐标系的笛卡儿位置...

四元数是复数的一种扩展，或叫超复数，记作一个标量加上一个向量：q˚=s+v=s+v1i+v2j+v3k\begin{array}{rl}\mathring{q}&=s+v\\&=s+v_1i+v_2j+v_3k\end{array}q˚​​=s+v=s+v1​i+v2​j+v3​k​其中，s∈Rs\in\mathbb{R}s∈R，v∈R3v\in\mathbb{R}^3...

对于空间中两个任意姿态的坐标系，总可以在空间里找到某个轴，使其中一个坐标系绕该轴旋转一个角度就能与另一个坐标系姿态重合。以先前使用过的一个旋转>> R = rpy2r(0.1, 0.2, 0.3)我们可以确定如下的一个角度和一个向量：>> [theta, v] = tr2angvec(R)theta = 0.3816v = 0.3379 0...

对于关节臂式机器人，一般会在它的末端执行器上固联一个坐标系 {E}\{E\}{E}，如图所示。通常情况下，工具的轴线为坐标系的 zzz 轴，并被称为接近向量，记为 a^=(ax,ay,az)\hat{a}=(a_x, a_y, a_z)a^=(ax​,ay​,az​)。对于某些应用来说，定义接近向量比定义欧拉角或横滚-俯仰-偏航角更为方便。然而定义出 zzz 轴的方向还不足以表示完整坐标我们...

之前叙述的三旋转角度表示方式中，一个重要的问题是奇异点。当中间的绕旋转轴旋转到另外两个轴平行时，这个情况就会发生。对于万向节锁（因电影《阿波罗13号》而出名的术语），也存在同样的问题。用于导航的机械陀螺仪如图所示。在其最核心的装配结构中有 333 个相互正交的框架，它们能使安装于其中的稳定体相对于宇宙静止。陀螺仪通过这个万向节机构连接到飞船机体上，这样无论飞船做任何机动飞行，都不会给陀螺仪内部的...

欧拉旋转定理要求绕3个轴依次旋转，但不能绕同一轴线连续旋转两次。旋转顺序分为两种：欧拉式和卡尔丹式，分别以欧拉和卡尔丹（Cardano）的名字命名。欧拉式是绕一个特定的轴重复旋转，但不是连续的：XYXXYXXYX、XZXXZXXZX、YXYYXYYXY、YZYYZYYZY、ZXZZXZZXZ 或 ZYZZYZZYZ。卡尔丹式的特点是绕 333 个不同轴旋转：XYZXYZXYZ、XZYXZYXZY...

正如在二维情况下一样，我们可以用相对于参考坐标系的坐标轴单位向量表示它们所在坐标系的方向。每一个单位向量有 333 个元素，它们组成了 3×33\times 33×3 阶正交矩阵 ARB^AR_BARB​：(AxAyAz)=ARB(BxByBz)\left(\begin{array}{c}^A\text{x}\\^A\text{y}\\^A\text{z}\end{array}\right) ...

三维情况实际上是之前讨论的二维情况的延伸。我们在二维坐标系上增加一个额外的坐标轴，通常用 zzz 表示，它同时与 xxx 轴和 yyy 轴正交。zzz 轴的方向服从右手规则，并构成右手坐标系。与各坐标轴平行的单位向量记作 xxx、yyy 和 zzzz~=x~×y~x~=y~×z~y~=z~×x~\tilde{z} = \tilde{x} \times \tilde{y} \quad \tild...

注：如果对群的概念不了解，可以暂时不用管，不会影响对相对位姿的理解二维世界或平面，是我们在高中学习欧几里得几何时就熟悉的。笛卡儿坐标系，或以 xxx 轴和 yyy 轴为正交轴的坐标系，通常绘制成 xxx 轴水平、yyy 轴竖直，两轴的交点称为原点。平行于坐标轴的单位向量用 x^\hat{x}x^ 和 y^\hat{y}y^​ 表示。一个点用其在 xxx 轴和 yyy 轴上的坐标 (x,y)\le...

机器人和计算机视觉中的一个基本要求是能够表示物体在环境中的位置和方向。这些物体包括机器人、摄像机、工件、障碍物和路径。空间中的点是数学中一个熟悉的概念，它可以被描述为一个坐标向量，也被称为一个约束向量，如图 (a) 所示。向量表示点相对于某个参考坐标系的位移。一个坐标系或笛卡儿坐标系统，是由一组正交轴构成的，这些轴相交于一个被称为原点的点。更多时候我们需要考虑组成物体的一组点。我们认为物体是...