61、现代密码学中的Rabin加密方案及相关数学原理

现代密码学中的Rabin加密方案及相关数学原理

1. 引言

在现代密码学领域，加密方案的安全性至关重要。Rabin加密方案因其安全性与因数分解难题的等价性而备受关注。相较于基于RSA的加密方案，Rabin加密方案可能基于更弱的假设，但其应用不如RSA广泛，这更多是由于历史因素而非技术原因。接下来，我们将深入探讨Rabin加密方案的核心内容，包括模平方根的计算、基于因数分解的陷门置换等。

2. 模平方根的计算

Rabin加密方案要求接收方计算模平方根，因此我们需要研究这个问题的算法复杂度。

2.1 素数模下的平方根计算

设 $p$ 为奇素数，计算模 $p$ 的平方根在不同情况下有不同的方法。
- 情况一：$p \equiv 3 \pmod{4}$
当 $p = 4i + 3$（$i$ 为整数）时，对于二次剩余 $a \in \mathbb{Z}_p^*$，根据命题 15.17，有 $J_p(a) = 1 = a^{\frac{p - 1}{2}} \pmod{p}$。两边同乘 $a$ 可得：
$a = a^{\frac{p - 1}{2} + 1} = a^{2i + 2} = (a^{i + 1})^2 \pmod{p}$
所以 $a^{i + 1} = a^{\frac{p + 1}{4}} \pmod{p}$ 是 $a$ 的一个平方根。算法步骤如下：

输入: 素数 p, 二次剩余 a ∈ Z∗p
输出: a 的一个平方根
若 p ≡ 3 (mod 4):
    计