[51NOD] 1009 数字1的数量 [数学][详解]

给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有正数，计算出其中出现所有1的个数。
例如：n = 12，包含了5个1。1,10,12共包含3个1，11包含2个1，总共5个1。
Input
输入N(1 <= N <= 10^9)
Output
输出包含1的个数
Input示例
12
Output示例
5

题解

提供一组数据 输入127948输出99344
不是很好想

记n的长度为$L$，设$f(x)$ 为小于x的包含1的个数
1. 长度小于$L$的
即求 $f(10^L)$
利用数学归纳法可以得到

$$f(10^{k+1})=f(10^k)\cdot 10+10^k$$
那么不难求得该情况下的答案
2. 长度等于 $L$的
该情况就有点复杂了
设$g(x)$ 为第x位到个位的包含1的个数，记第x位的数字为 $R_x$ ，记第x位后面的数 $C_x=R_{x-1}\cdot 10^{x-2}+R_{x-2}\cdot 10^{x-3}+…+R_1$
那么当 $x<L$ 时
$$g(x)=\begin{cases} g(x-1)+R_x \cdot f(10^{x-1}) +10^{x-1}, & R_x>1 \\ g(x-1)+R_x \cdot f(10^{x-1}) +C_x, & R_x=1\\ g(x-1), & R_x=0 \end{cases}$$
当 $x=L$ 时
$$g(x)=\begin{cases} g(x-1)+(R_x -1)\cdot f(10^{x-1}) +10^{x-1}, & R_x>1 \\ g(x-1)+(R_x -1)\cdot f(10^{x-1}) +C_x, & R_x=1\\ g(x-1), & R_x=0 \end{cases}$$

我的代码有点乱

#include<cstdio>
#include<cmath>

int main()
{
    int n;
    int ans=0,t=1,res=0,add=0,tmp=0;
    scanf("%d",&n);
    while(n){
        ans=ans+((n<10?-1:0)+n%10)*add+(n%10==1?res+1:0)+(n%10>1?t:0);
        tmp=add;
        add=add*10+t;
        res+=(n%10)*t;
        t*=10;
        n/=10;
    }
    printf("%d\n",ans+tmp);
    return 0;
}