与程序竞赛有关的数学知识点

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容斥原理

集合的并集

设$A_1,A_2...,A_n$是有限集合，则
$|A_1\bigcup A_2\bigcup … \bigcup A_n|=\sum_{i=1}^n |A_i|-\sum_{i=1}^n \sum_{j>i}|A_i\bigcap A_j|-\sum_{i=1}^n \sum_{j>i} \sum_{k>j}|A_i\bigcap A_j\bigcap A_k|…+(-1)^n|A_1\bigcap A_2\bigcap…\bigcap A_n|$

Sylvester公式

给定集合N和具有性质i的集合$A_1,A_2...,A_n$，则
$|\overline A_1\bigcap \overline A_2\bigcap … \bigcap \overline A_n|=|N|-(\sum_{i=1}^n |A_i|-\sum_{i=1}^n \sum_{j>i}|A_i\bigcap A_j|…+(-1)^n|A_1\bigcap A_2\bigcap…\bigcap A_n|)$

[列题] 区间(S,E]中与n互质的元素个数

设$A_i$为n的第i个质因子$p_i$的倍数的集合且$A_i⊆(S,E],i=1,2,3…k$，那么$|A_i|=[\frac {E}{p_i}]-[\frac {S}{p_i}],|A_i\bigcap A_j|=[\frac {E}{p_ip_j}]-[\frac {S}{p_ip_j}]…$，然后套用上面公式即可解决问题了。关键是将这个公式表达出来，有没有发现一共有$2^n$项多项式，而且组合数量为奇数时负，组合数量为偶数时符号为正。

LL POIAE(int n,int S,int E){
    //质因子分解
    int p[32],u=0;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0){
            p[u++]=i;
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    if(n>1) p[u++]=n;

    LL qua=0;
    for(int i=1;i<1<<u;i++){
        int cnt=0,com=1;
        for(int k=0;k<u;k++)
            if(i>>k&1) cnt++,com*=p[k];
        qua+=cnt&1?E/com-S/com:-E/com+S/com;
    }
    return E-S-qua;
}

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欧拉函数φ(n)

欧拉函数φ(n) 是小于等于n且与n互素的正整数的个数，假设$n=p_1^{α_1}p_2^{α_2}p_3^{α_3}…p_k^{α_k}$，则有

$$φ(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})…(1-\frac{1}{p_k})$$

证明：

设$A_i$为1到n之间$p_i$的倍数的集合，i=1,2,3,…,k，则
φ(n)=$|\overline A_1\bigcap \overline A_2\bigcap … \bigcap \overline A_k|$
=$|N|-(\sum_{i=1}^k |A_i|-\sum_{i=1}^k \sum_{j>i}|A_i\bigcap A_j|…+(-1)^k|A_1\bigcap A_2\bigcap…\bigcap A_k|)$
=$n-(\sum_{i=1}^k \frac{n}{p_i}-\sum_{i=1}^k \sum_{j>i}\frac{n}{p_i p_j}+\sum_{i=1}^k \sum_{j>i} \sum_{h>j}\frac{n}{p_i p_j p_h}…+(-1)^k\frac{n}{p_1 p_2 p_3…p_k})$
= n(1−1p