POJ-1258:Agri-Net:最短网络

题目背景

农民约翰被选为他们镇的镇长！他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。当然，他需要你的帮助。

题目描述

约翰已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费，他想铺设最短的光纤去连接所有的农场。

你将得到一份各农场之间连接费用的列表，你必须找出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。每两个农场间的距离不会超过100000

这道题是最小生成树的模板题。

Prim解法

Prim算法是通过每次添加一个新节点加入集合，直到所有点加入停止的 最小生成树的算法。

时间复杂度：O（n²）
这里没有使用堆进行优化，感兴趣的话看一看最小生成树算法，里面有使用堆优化的代码。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define Max 10005
#define ll int
#define inf 10000000
#define p pair<ll,ll>

ll n, dis[Max][Max], i, j, ans = 0, mincost[Max];
bool used[Max];

void Prim() {
	//以1为起点
	for (i = 1; i <= n; i++) used[i] = false;
	ans = 0; for (i = 2; i <= n; i++) mincost[i] = inf; mincost[1] = 0; ll cnt = 0;
	while (cnt < n) {
		ll m = inf, id = -1;
		for (i = 1; i <= n; i++)
			if (!used[i] && mincost[i] < m) {
				m = mincost[i]; id = i;//从未使用过得点中找一个距离最小的
			}
		if (id == -1)break;//不存在距离比较短的边
		used[id] = true; ans += m; cnt++;
		for (i = 1; i <= n; i++) mincost[i] = min(mincost[i], dis[id][i]);
	}
}
int main() {
	while (cin >> n) {
		for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= n; j++) cin >> dis[i][j];
		Prim();
		cout << ans << endl;
	}
}

Kruskal解法

Kruskal算法是通过并查集，按照边的权重顺序（从小到大）将边加入生成树中，但是若加入该边会与生成树形成环则不加入该边,选其次。直到树中含有n - 1条边为止。

时间复杂度：O（E log E）（E为边数）

ll find(ll s) {
	if (s == kind[s]) return s;
	return kind[s] = find(kind[s]);
}

void unite(ll a, ll b) {
	ll xx = find(a), yy = find(b);
	kind[yy] = xx;
}

并查集基础

void Kruskal() {
	for (i = 0; i <= n; i++) kind[i] = i; ll sum = 0;
	sort(e + 1, e + cnt); i = 1;//根据边权进行排序
	while (i < cnt) {
		edge tmp = e[i++];
		if (find(tmp.from) != find(tmp.to)) {
			sum++;
			unite(tmp.from, tmp.to);
			ans += tmp.weight;
		}
		if (sum == n - 1) break;
	}
}

完整代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define Max 10005
#define ll int
#define inf 10000000
#define p pair<ll,ll>

struct edge {
	ll from, to, weight = inf;
	bool operator<(edge e) {
		return weight < e.weight;
	}
}e[Max];

ll n, dis[Max][Max], i, j, ans = 0, cnt = 1, kind[Max];

ll find(ll s) {
	if (s == kind[s]) return s;
	return kind[s] = find(kind[s]);
}

void unite(ll a, ll b) {
	ll xx = find(a), yy = find(b);
	kind[yy] = xx;
}

void Kruskal() {
	for (i = 0; i <= n; i++) kind[i] = i; ll sum = 0;
	sort(e + 1, e + cnt); i = 1;//根据边权进行排序
	while (i < cnt) {
		edge tmp = e[i++];
		if (find(tmp.from) != find(tmp.to)) {
			sum++;
			unite(tmp.from, tmp.to);
			ans += tmp.weight;
		}
		if (sum == n - 1) break;
	}
}

int main() {
	while (cin >> n) {
		ans = 0, cnt = 1;
		for (i = 1; i <= n; i++) 
			for (j = 1; j <= n; j++) {
				if (j > i) {
					e[cnt].from = i; e[cnt].to = j, e[cnt++].weight = dis[i][j];
				}
			}
		Kruskal();
		cout << ans << endl;
	}
}